Clase digital 1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Introducción

¡Hola!

Es un privilegio darte la bienvenida a la Unidad de Aprendizaje de “Álgebra Lineal” en donde aplicaremos diferentes herramientas matemáticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.

El tema preparado se denomina Sistema de Ecuaciones Lineales, el cual se dividirá en 2 clases donde se abordarán las siguientes temáticas:

Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.
Eliminación Gaussiana.
Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales.
Matrices y operaciones matriciales.
Reglas de aritmética matricial.
Matrices elementales y método para hallar la A^-1

Iniciaremos nuestro estudio pensando en definir varios conceptos que formarán la base de nuestro curso de álgebra lineal y para eso debemos plantearnos varias preguntas. La primera de ellas es ¿Qué es una ecuación lineal? ¿Cuáles son las características que debe tener una ecuación para que sea lineal? ¿Cuál es la potencia máxima que pueden tener las variables? ¿las variables de mi ecuación pueden aparecer como argumentos de funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales?

Como puedes apreciar existen muchas preguntas que surgen a raíz de un solo concepto y todo ello forma parte de una definición. Las definiciones serán uno de nuestros bloques medulares en la construcción de nuestro saber. A lo largo del curso analizaremos las definiciones y las usaremos para comprender las demostraciones matemáticas que son conocidas como teoremas, los cuales conforman la otra parte medular de nuestro conocimiento.

Las definiciones y teoremas los utilizarás para resolver problemas abstractos y aplicados. Los problemas abstractos te permiten desarrollar el conocimiento lógico y mejorar tu nivel de abstracción del mundo que te rodea. Resolver problemas numéricos te permitirá conocer y dominar los procedimientos necesarios para que posteriormente los puedas utilizar en aplicaciones que serán abordadas en otros cursos durante tu carrera.

Las aplicaciones del álgebra lineal son muy variadas, cualquier persona que maneje una computadora o un dispositivo móvil (el celular o tableta) utiliza de manera indirecta los conceptos y teoremas que verás en este curso. Te invito a que des inicio a esta experiencia de aprendizaje con mucho entusiasmo ya que los conocimientos que obtendrás te abrirán las puertas en muchas direcciones.

¡Te deseo mucho éxito en esta Unidad de Aprendizaje!

Desarrollo del tema

1. Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales

Definición: Una ecuación lineal en las n variables x₁, x₂, …, x_n se define como aquella que se puede expresar en la forma

a₁x₁+ a₂x₂+ … + a_nx_n= b

en donde a₁, a₂, …, a_n y b son constantes reales.

El conjunto de todas las soluciones es su conjunto solución. Una solución de una ecuación lineal es una sucesión de números s₁, s₂, …, s_n tales que la ecuación se satisface cuando se hace la sustitución x₁=s₁, x₂=s₂, …, x_n=s_n.

Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables x₁, x₂, …, x_n se conoce como sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Una sucesión de números s₁, s₂, …, s_n es una solución del sistema si x₁=s₁, x₂=s₂, …, x_n=s_n es una solución de toda ecuación en tal sistema.

Cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución se dice que es inconsistente. Si existe al menos una solución, se le denomina consistente. Se puede afirmar siempre que todo sistema de ecuaciones lineales no tienen solución, tiene exactamente una solución, o bien, una infinidad de soluciones.

Esto se conoce como matriz aumentada para el sistema. En matemáticas se utiliza el término matriz para denotar un arreglo rectangular de números.

Ya que los renglones de una matriz aumentada corresponden a las ecuaciones del sistema asociado, tenemos tres operaciones que corresponden a las operaciones que se pueden usar para eliminar sistemáticamente las incógnitas en un sistema de ecuaciones lineales y son:

Multiplicar uno de los renglones por una constante diferente de cero.
Intercambiar dos de los renglones.
Sumar un múltiplo de uno de los renglones a otro renglón.

A estas operaciones se les conoce como operaciones elementales sobre los renglones.

2. Eliminación gaussiana

Un ejemplo de una matriz que se encuentra en la forma escalonada en los renglones reducida es:

Y tiene las siguientes propiedades:

Si un renglón no consta completamente de ceros, entonces el primer número diferente de cero en el renglón es un 1 (denominado 1 principal).
Si existen renglones que consten completamente de ceros, entonces se agrupan en la parte inferior de la matriz.
Si dos renglones sucesivos no constan completamente de ceros, el 1 principal del renglón inferior se presenta más hacia la derecha que el 1 principal del renglón superior.
Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las demás posiciones.

Si una matriz tiene solamente las 3 primeras propiedades se dice que está en la forma escalonada en los renglones.

Algunas veces se resuelve el sistema de ecuaciones lineales llevando la matriz a la forma escalonada, sin llevarla a la forma escalonada reducida, y se puede resolver el sistema de ecuaciones por medio de la técnica conocida como sustitución hacia atrás, como se verá en el ejemplo.

3. Sistemas homogéneos de ecuaciones lineales

Todo sistema homogéneo de ecuaciones lineales es consistente, ya que x₁=0, x₂=0, …, x_n=0 siempre es una solución. Esta solución se conoce como solución trivial; si existen otras soluciones, se dice que son soluciones no triviales. Para un sistema homogéneo de ecuaciones lineales se cumple una de las siguientes afirmaciones:

El sistema tiene sólo la solución trivial.
El sistema tiene una infinidad de soluciones no triviales además de la trivial.

Siempre que el sistema tenga más incógnitas que ecuaciones se tendrán soluciones no triviales.

Teorema. Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales con más incógnitas que ecuaciones siempre tiene una infinidad de soluciones.

Matrices y operaciones matriciales.

Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números del arreglo se conocen como elementos de la matriz.

El tamaño de una matriz se describe especificando el número de renglones (líneas horizontales) y columnas (líneas verticales) que tiene. El primer número siempre indica el número de renglones y el segundo el número de columnas. Regularmente se usan letras mayúsculas para denotar matrices y letras minúsculas para las cantidades numéricas o escalares. Si A es una matriz, se usará a_ij para denotar el elemento del renglón i y columna j de A. Una matriz A con n renglones y n columnas se denomina matriz cuadrada de orden n y se dice que los elementos a₁₁, a₂₂, …, a_nn están en la diagonal principal de A:

Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y los elementos correspondientes en las dos matrices son iguales.

Definición: Si A y B son dos matrices cualesquiera del mismo tamaño, entonces la suma A+B es la matriz que se obtiene al sumar los elementos correspondientes de las dos matrices. Las matrices de tamaños diferentes no se pueden sumar.

Definición. Si A es una matriz cualquiera y c es cualquier escalar, entonces el producto cA es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de A por c.

Definición. Si A es una matriz de m x r, y B es una de r x n, entonces el producto AB es la matriz de m x n cuyos elementos se determinan como sigue. Para encontrar el elemento en el renglón i y la columna j de AB, distingase el renglón i de la matriz A y la columna j de la B. Multiplíquense los elementos correspondientes del renglón y columna y, a continuación, súmense los productos resultantes.

La matriz de coeficientes es la que se forma por los coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones lineales sin utilizar los valores de los términos independientes. Sería la matriz A obtenida a partir de:

Dado que dos matrices son iguales si y sólo si sus elementos correspondientes son iguales se puede reemplazar lo anterior por:

Que puede ser reescrita usando la definición de multiplicación de matrices como:

Designando A, X y B a estas matrices respectivamente, obtenemos

A X = B

Siendo A la matriz de coeficientes mencionada.

4. Reglas de la aritmética matricial.

Lo primero que debemos notar es que la aritmética de matrices es diferente a la aritmética de los números reales. Por ejemplo, de manera general AB no es igual producto BA, aún y cuando estén definidos ambos productos AB y BA y tengan el mismo tamaño.

Teorema. Suponiendo que los tamaños de las matrices son tales que es posible efectuar las operaciones indicadas, son válidas las reglas que siguen de la aritmética matricial:

Una matriz en la que todos los elementos son cero, como:

Se denomina matriz cero. Las matrices cero se denotan por 0; si es importante indicar el tamaño, se escribe 0_mxn para la matriz cero de mxn. Si A es cualquier matriz y 0 es la matriz cero con el mismo tamaño, es obvio que A+0=A. La matriz 0 tiene casi la misma función en una ecuación matricial que el número 0 en la ecuación numérica a+0=a.

Teorema. Todo sistema de ecuaciones lineales no tiene soluciones, tiene exactamente una solución, o bien, una infinidad de soluciones.

Un tipo de matriz especial denominada matriz identidad es aquella que tiene puros 1 en la diagonal principal y cero en todas las demás posiciones, como:

Denotada por I. Si es importante indicar el tamaño y se escribe I_n para la matriz identidad de nxn.

Si A es una matriz de mxn, entonces A I_n = I_m A = A. Una matriz identidad cumple casi la misma función en la aritmética matricial que el número 1 en las relaciones numéricas (1)(a)=(a)(1)=a.

Si A es una matriz cuadrada cualquiera y si es posible hallar una matriz B tal que AB=BA=I, entonces se dice que A es inversible y B se conoce como inversa de A.

Teorema. Si tanto B como C son inversas de la matriz A, entonces B = C.

Si A es inversible, entonces su inversa se denota por medio del símbolo A^-1. Como consecuencia:

A A^-1 = A^-1A = I

La inversa de A desempeña casi la misma función en la aritmética matricial que la que tiene el recíproco a^-1 en las relaciones numéricas a a^-1 = 1 y a^-1 a =1.

Teorema. Si A y B son matrices inversibles del mismo tamaño, entonces:

a) AB es inversible
b) (AB)^-1 = B^-1 A^-1

Un producto de matrices inversibles siempre es inversible, y la inversa del producto es el producto de las inversas en orden inverso.

Si A es una matriz cuadrada y n es un entero positivo, se define:

Aⁿ = A A … A con n factores de A

A⁰ = I

Si, además, A es inversible, se define:

A^-n = (A^-1)ⁿ= A^-1 A^-1 … A^-1 con n factores.

Teorema. Si A es una matriz inversible, entonces:

a) A^-1 es inversible y (A^-1)^-1 = A
b) Aⁿ es inversible y (Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ para n=0,1,2,…
c) Para cualquier escalar diferente de cero k, kA es inversible y ( kA )^-1 = A^-1 / k

Matrices elementales y método para hallar A-1

Definición. Se dice que una matriz nxn es una matriz elemental si se puede obtener a partir de la matriz identidad de nxn realizando una sola operación elemental sobre los renglones.

Cuando se multiplica por la izquierda una matriz A por una matriz elemental E, el efecto es el de realizar una operación elemental sobre los renglones en A.

Teorema. Si la matriz elemental E resulta al efectuar cierta operación sobre los renglones en Im y si A es una matriz de mxn, entonces el producto EA es la matriz que resulta al efectuar la misma operación sobre los renglones en A.

Teorema. Toda matriz elemental es inversible y la inversa también es una matriz elemental.

Las matrices que se pueden obtener una de la otra por medio de una sucesión finita de operaciones elementales sobre los renglones, se dice que son equivalentes respecto a los renglones.

Teorema. Si A es una matriz nxn, entonces las siguientes proposiciones son equivalentes, es decir, todas son verdaderas o todas son falsas.

a) A es inversible.
b) AX=0 tiene únicamente la solución trivial.
c) A es equivalente respecto a los renglones a I_n.

Tal como ilustraremos en los siguientes ejemplos y ejercicios:

Elementos procedimentales (saber hacer)

A continuación te invito a revisar los siguientes recursos digitales:

Ejercicios

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Conclusión

En resumen, en esta clase se vieron conceptos de equivalencia entre sistemas de ecuaciones lineales y matrices. El método de Gauss-Jordan para obtener el conjunto solución por medio de operaciones elementales en los renglones. Se abordó el tema de llevar una matriz a la forma escalonada y forma escalonada reducida en los renglones. La solución de un sistema homogéneo usando el método de eliminación Gauss-Jordan. Se vieron ejemplos sobre aritmética de matrices como suma, multiplicación de matrices y matrices especiales como la matriz cero y matriz identidad. Finalmente, utilizando los métodos y conceptos para reducir y operar entre matrices se abordó la obtención de la inversa de una matriz utilizando matrices elementales y operaciones elementales sobre los renglones. Estos métodos y conceptos nuevos se utilizarán en los próximos temas y en el desarrollo de aplicaciones que involucran al álgebra lineal.

Hemos llegado al final de esta primera sesión ¿qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase.

¡Has comenzado muy bien!

Fuentes de información

Howard, A. (1994). Introducción al álgebra lineal. (3^a ed.). limusa.
Stanley, I., Grossman, S., & Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). McGraw-Hill Interamericana.