Clase digital 2. Determinantes - Recursos Educativos Abiertos

Determinantes

Introducción

¡Hola!

Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. Por lo tanto te invito a continuar en esta clase denominada DETERMINANTES el cual se dividirá en 4 clases que abordarán las siguientes temáticas:

Función determinante.
Evaluación de determinante por reducción en los renglones.
Propiedades de la función determinante.
Desarrollo por cofactores.

Iniciaremos nuestro estudio pensando en definir el concepto de determinante e investigaremos las propiedades de los determinantes. Dado que la complejidad de la función determinante crece con el rango de la matriz involucrada es importante establecer técnicas para evaluar el determinante de una matriz y para esto tenemos dos técnicas que iremos trabajando durante estas clases: la evaluación del determinante por reducción en los renglones y la del desarrollo por cofactores.

La evaluación del determinante es necesaria para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución y siendo este el caso poder obtener la inversa de la matriz de coeficientes. Para poder aplicar las técnicas correctamente requerimos establecer varias definiciones y teoremas, de tal manera que cada paso que usemos con las técnicas apropiadas estén plenamente justificados.

El tema de espacios vectoriales incluye los siguientes subtemas:

Espacio euclidiano n-dimensional y espacios vectoriales generales.
Subespacios.
Independencia lineal.
Base y dimensión.
Espacio de renglones y columnas, rango.
Espacios de productos interiores.
Longitud y ángulo en los espacios de productos interiores.
Bases ortonormales, coordenadas y cambios de base.

Demos inicio a esta clase digital con mucho ánimo y te invito a reflexionar e investigar sobre las aplicaciones que tienen los temas que abordaremos.

Desarrollo del tema

1. La función determinante

Definición: Una permutación del conjunto de enteros {1, 2, . . ., n}, es un arreglo de estos enteros en cierto orden, sin omisiones o repeticiones.

Una permutación general del conjunto {1,2,…,n} se escribe (j₁,j₂,…,j_n). Teniendo que j1 es el primer entero de la permutación, j2 es el segundo, etc. Se dice que ocurre una inversión en una permutación (j₁,j₂,…,j_n) siempre que un entero mayor precede a uno menor.

Definición: Se dice que una permutación es par, si el número total de inversiones es un entero par, y se dice que es impar. si el número total de inversiones es un entero impar.

Considera una matriz de nxn

Un producto elemental tomado de A es cualquier producto de n elementos tomados de A, sin que dos cualesquiera de ellos provengan del mismo renglón o la misma columna. Se denomina producto elemental con signo tomado de A a un producto elemental multiplicado por +1 o -1, tomando el + si es una permutación par y el – si es una permutación impar.

Definición: Sea A una matriz cuadrada. La función determinante se denota por det, y se define det(A) como la suma de todos los productos elementales con signos tomados de A.

2. Evaluación de determinantes por reducción en los renglones

Teorema 1. Si A es cualquier matriz cuadrada que contiene un renglón de ceros, entonces det (A)=0.

Se dice que una matriz cuadrada es triangular superior si todos los elementos que están debajo de la diagonal principal son ceros. Una matriz cuadrada es triangular inferior si todos los elementos que están arriba de la diagonal principal son ceros. Una matriz triangular puede ser superior o inferior.

Teorema 2. Si A es una matriz triangular de nxn, entonces det(A) es el producto de los elementos de la diagonal principal; es decir det (A) = a₁₁ a₂₂ … a_nn.

Teorema 3. Sea A cualquier matriz de nxn.

Si A’ es la matriz que se obtiene cuando un solo renglón de A se multiplica por una constante k, entonces det (A’) = k det (A).
Si A’ es la matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de A, entonces det(A’) = -det(A).
Si A’ es la matriz que se obtiene al sumar un múltiplo de uno de los renglones de A a otro renglón, entonces det (A’) = det (A).

Debemos notar que si una matriz cuadrada tiene dos renglones proporcionales, su determinante es cero.

3. Propiedades de la función determinante

Si A es una matriz mxn, entonces la transpuesta de A se denota por A^t y se define como la matriz nxm cuya primera columna es el primer renglón de A, su segunda columna es el segundo renglón de A, su tercera columna es el tercer renglón de A, etc.

Teorema 4. Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces det (A) = det (A^t).

Teorema 5. Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamaño, entonces det (AB) = det(A) det (B).

Teorema 6. Una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si det (A)≠0.

4. Desarrollo por cofactores

Definición: Si A es una matriz cuadrada, entonces el menor del elemento a_ij se denota por M_ij y se define como el determinante de la submatriz que se deja después de eliminar de A el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. El número (-1)^i+j M_ij se denota por C_ij y se conoce como cofactor del elemento a_ij.

El cofactor y el menor de un elemento a_ij difieren únicamente en el signo, es decir, C_ij= ±M_ij. Es posible calcular el determinante de A multiplicando los elementos que están en la primera columna de A por sus cofactores y sumando los productos que resultan. Este método para evaluar det (A) se conoce como desarrollo por cofactores a lo largo de la primera columna de A.

Teorema 7. Se puede calcular el determinante de una matriz A de nxn multiplicando los elementos de cualquier renglón (o columna) por sus cofactores y sumando los productos que resulten; es decir, para cada

1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ n,

1. ESPACIOS EUCLIDIANOS N DIMENSIONALES Y ESPACIOS VECTORIALES GENERALES

Ahora veremos el tema de espacios vectoriales, a través de definiciones y teoremas, comenzamos con la definición del espacio n dimensional:

2. SUBESPACIOS

Si se agrupan todos los vectores en V que son expresables como combinaciones lineales de v1, v2, … vr entonces se obtiene un subespacio de V. Este subespacio se denomina espacio lineal generado por {v1,v2, …, vr} o espacio generado por {v1,v2, …, vr}.

3. INDEPENDENCIA LINEAL

Si esta es la única solución, entonces S recibe el nombre de conjunto linealmente independiente. Si hay otras soluciones entonces se dice que S es un conjunto linealmente dependiente.

4. BASE Y DIMENSIÓN

Un espacio vectorial diferente de cero V es de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores {v1, v2, …, vn} que forma una base. Si no existe un conjunto de este tipo, se dice que V es de dimensión infinita. El espacio vectorial cero se considera como de dimensión finita, aun cuando no tiene conjuntos linealmente independientes, y como consecuencia no tiene base.

5. ESPACIO DE RENGLONES Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ

6. ESPACIOS DE PRODUCTOS INTERIORES

Un espacio vectorial con un producto interior se conoce como espacio de productos interiores.

7. LONGITUD Y ÁNGULO EN LOS ESPACIOS DE PRODUCTOS INTERIORES

8. BASES ORTONORMALES

9. COORDENADAS; CAMBIO DE BASE

Elementos procedimentales (saber hacer)

Ejemplo: Sobre permutaciones.

Ejemplo: Sobre inversiones.

Ejemplo: Clasificación de permutaciones por número de inversiones.

Ejemplo: Productos elementales.

Para evaluar el det(A)

Ejemplo: Considerando las matrices

Y evaluando sus determinantes

Obtenemos que

Ejemplo:

Al reducir a la forma escalonada en los renglones

Ejemplo: Sobre transpuestas de matrices

Ejemplo: Considérese las matrices

El det(A)=4 y det(5A)=100 ya que det(A)=5² det(A).

Ejemplo: Menores y cofactores.

Ejemplos de espacios vectoriales

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: Combinación lineal.

Ejemplo: Generación de espacio.

Ejemplo: Independencia lineal.

Ejemplo: Base y dimensión.

Se concluye que A es inversible y S es una base para R³.

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: Base.

Encuéntrese una base para el espacio generado por los vectores:

Ejemplo: Espacio de productos interiores.

Ejemplo: Ángulo entre vectores.

Ejemplo: Ortonormalidad.

Ejemplo:

Te invito a que revises los siguientes recursos digitales:

Conclusión

En conclusión, en esta clase se vieron los conceptos de determinantes, propiedades de los determinantes, cómo evaluar los determinantes y obtención de la inversa a través del uso de los menores y método de cofactores. En la segunda parte de esta clase se trataron los espacios y subespacios vectoriales, la independencia lineal, el concepto de base y dimensión y el proceso Gram-Schmidt. Vimos la parte teórica y algunos ejemplos que deberás complementar con tu propia investigación.

Es así como concluimos nuestra clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla correctamente. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.

Fuentes de información

Howard, A. (1994). Introducción al álgebra lineal. (3a ed.). limusa.
Stanley, I., Grossman, S., & Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). McGraw-Hill Interamericana.