Clase digital 3. Transformaciones lineales

Transformaciones lineales

Introducción

¡Hola!

Es muy grato tenerte como estudiante en este curso, para mi es un gran honor encontrarme con personas tan disciplinadas y comprometidas con su educación como lo eres tú ¡Te felicito! 

Volviendo al curso, te invito a proseguir en esta nueva sesión con el tema de Transformaciones Lineales, el cual se dividirá en 4 clases que abordarán las siguientes temáticas: 

1. Introducción a las transformaciones lineales.
2. Propiedades de las transformaciones lineales: núcleo y recorrido.
3. Transformaciones lineales de Rⁿ hacia R^m y geometría de transformaciones de R² a R²
4. Matrices de las transformaciones lineales.
5. Semejanza.

Iniciaremos nuestro estudio preguntándonos qué es una transformación lineal y cuál es la función de una transformación lineal. Las transformaciones lineales mapean y crean una imagen bajo ciertas reglas que serán tratadas en esta clase. 

Una vez que conocemos las imágenes de los vectores base bajo una transformación lineal, es posible encontrar las imágenes de los vectores restantes en el espacio. Esto nos permite enfocarnos en el tratamiento del núcleo y del recorrido de una transformación lineal y extender nuestro conocimiento del espacio imagen y de la transformación misma al resto del espacio que será transformado. Con este conocimiento podemos estudiar las transformaciones lineales de Rⁿ hacia R^m y obtener las propiedades geométricas de las transformaciones lineales de R² a R². Ya que toda transformación lineal es una transformación matricial podemos utilizar todo lo aprendido sobre matrices y aplicarlo a las transformaciones lineales usando la matriz estándar. Existen transformaciones lineales de especial interés y que ocurren en el plano como son las rotaciones, reflexiones, expansiones, compresiones, deslizamientos cortantes y las transformaciones inversas de cada una de ellas. Recordemos que todo el aprendizaje del álgebra lineal debe de tener como sustento una serie de definiciones y teoremas que respalden nuestro proceder, análisis e interpretación del resultado y por lo mismo iremos desarrollando la teoría necesaria sobre cada uno de estos temas.

El último tema de nuestro curso es el de vectores y valores propios e incluye los siguientes subtemas:

1. Eigenvectores y eigenvalores.
2. Diagonalización.
3. Diagonalización ortogonal; matrices simétricas.

Este tema tiene gran aplicación en ciencias y matemáticas ya que los eigenvectores son conjuntos de vectores especiales que están asociados con sistemas de ecuaciones lineales y se encuentran en aplicaciones como estabilidad, rotación y oscilaciones pequeñas de sistemas que vibran.

Demos inicio a esta nuestra tercera y última clase digital con mucho ánimo y nuevamente te invito a reflexionar e investigar sobre las aplicaciones que tienen los temas que abordaremos.

¡Sin más que agregar, comencemos!

Desarrollo del tema

1. Introducción a las transformaciones lineales

A las transformaciones lineales que pueden obtener a partir de la multiplicación por una matriz A se les conoce como transformaciones matriciales y una de este tipo de la rotación de R2 hasta describir un ángulo θ. La transformación lineal que mapea a un vector v hacia 0, se le conoce como transformación cero y a la transforma a un vector v hacia él mismo se conoce como transformación identidad. Si lo que realiza la transformación lineal es mapear el espacio vectorial V hacia sí mismo (T:V ->V) entonces tendremos un operador lineal sobre V.

2. Propiedades de las transformaciones lineales: Núcleo y recorrido

3. Transformaciones lineales Rⁿ hacia R^m; Geometría de las transformaciones lineales en el plano

Lo primero que debemos considerar es que toda transformación lineal de Rⁿ hacia R^m es una transformación matricial. Si esto es cierto, entonces es posible encontrar una matriz A de mxn tal que T es la multiplicación por A. Si tienes una base estándar: e₁, e₂, …, e_n para Rⁿ, la matriz A es la matriz de mxn que tiene a T(e₁), T(e₂), …, T(e_n) son sus vectores columna:

Tal que:

A esta matriz se le llamará la matriz estándar para T y cumple con que T(x)=Ax.

Ahora estudiaremos las transformaciones lineales en el plano y sus propiedades geométricas. Partimos de la matriz estándar dada por:

Entonces:

Y esto lo podemos interpretar geométricamente de dos maneras: como vectores o como coordenadas y es aplicable a ambos casos.

Rotaciones: Si T:R2->R2 hace girar cada punto en el plano alrededor del origen, hasta describir un ángulo Q, entonces, se deduce que la matriz estándar para T es:

Reflexiones: Una reflexión respecto a una recta l que pasa por el origen, es una transformación que aplica cada punto del plano en su imagen como en un espejo, respecto a la recta l. Son transformaciones lineales y los casos más importantes son las reflexiones respecto a los ejes de coordenadas y respecto a la recta y=x. Las matrices estándar para estas transformaciones son:

Expansiones y compresiones: Si la coordenada x de cada punto en el plano se multiplica por una constante positiva k, entonces el efecto es dilatar o comprimir cada figura plana en la dirección x. Si 0<k<1, el resultado es una compresión y si k>1, una expansión. A una expansión de este tipo se le denomina expansión (o compresión) en la dirección x, con el factor k. La matriz estándar para esta transformación lineal T es:

Esto también puede suceder en dirección y, con el factor k, siendo este tipo de transformaciones también lineales. En este caso la matriz estándar esta dada por:

En la siguiente figura se puede apreciar un ejemplo de cada una de las transformaciones lineales mencionadas.

Deslizamientos cortantes. Un deslizamiento cortante en la dirección x, con factor k, es una transformación que mueve cada punto (x,y) paralelo al eje x, en una cantidad ky, hacia la posición (x+ky, y). Los puntos que están sobre el eje x no se mueven puesto que y=0. Sin embargo, conforme se avanza alejándose del eje x, la magnitud de y aumenta, por tanto, aquellos puntos más alejados del eje x se mueven una distancia mayor que los que se encuentran más cercanos como se muestra en la figura siguiente:

El deslizamiento cortante también puede suceder en dirección y, con factor k moviendo cada punto (x, y) paralelo al eje y, en una cantidad kx, hasta la nueva posición (x, y+kx). Ambos deslizamientos cortantes son transformaciones lineales. La matriz estándar para el deslizamiento cortante en dirección x, con factor k está dado por:

Y de manera análoga, la matriz estándar para un deslizamiento cortante en dirección y, de factor k, es 

Existe la transformación identidad que mapea cada punto en sí mismo.

4. Matrices de las transformaciones lineales

Si tenemos espacios vectoriales V y W con dimensión finita (no necesariamente Rn y Rm), entonces cualquier transformación lineal T:V->W se puede considerar como una transformación matricial. Para esto hay que elegir bases para V y W y trabajar con matrices de coordenadas relativas a estas bases en lugar de con los vectores. Si se eligen las bases B y B’ para V y W, entonces para cada x en V , la matriz de coordenadas [x]B será un vector en Rn y la matriz de coordenadas [T(x)]B’ será algún vector en Rm. Esta transformación se puede realizar aplicando la matriz estándar A, para esta transformación:

Y consideramos ahora el problema de encontrar una matriz A que satisfaga esta ecuación. Si suponemos que V es un espacio de n dimensión con base B={u1, u2, …, un} y que W es un espacio de dimensión m con base B’={v1, v2, …,vm}. La matriz que buscamos es de mxn.

Para todos los vectores x en V. En particular si x es el vector base u1.

Pero

Tal que

Lo que implica que

Es decir, la primera columna de A es la matriz de coordenadas para el vector T(u1), con respecto a B’. Lo mismo se hace para x=u2.

Es decir, la segunda columna de A es la matriz de coordenadas para el vector T(u2), con respecto a la base B’. Así podemos encontrar la j-ésima columna de A y esta es la matriz de coordenadas para el vector T(uj), con respecto a B’. La matriz única A que se obtiene se conoce como matriz de T con respecto a las bases B y B’.

5. Semejanza

La matriz de un operador lineal T: V->V depende de la base seleccionada para V. Nosotros siempre buscaremos que la matriz de T sea tan sencilla como se pueda y la obtenemos usando el siguiente teorema.

A’ = P^-1 A P

En donde P es la matriz de transición de B’ a B.

Si tenemos cómo se transforma cualquier vector usando T: R2->R2, usamos los vectores base e1 y e2 y obtenemos A, la matriz estándar para T. Posteriormente encontramos la matriz de transición de B’ hacia B y para eso se necesita la matriz de transición para los vectores B’, con relación a la base B que es P. Obtenemos la inversa de P y aplicamos el teorema 7 para obtener A’ que es la matriz en relación a B’.

Eigenvalores y eigenvectores

Diagonalización

Nos enfocamos en dos problemas:

Para los cuales se tienen dos planteamientos matriciales:

Entonces con base en esto tenemos el siguiente procedimiento:

Ejemplo:

Ejemplo:

El sistema homogéneo

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: Eigenvalores y eigenvectores.

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Te invito a revisar los siguientes recursos digitales:

• Introducción a la independencia lineal
• Más sobre independencia lineal
• Espacios vectoriales generados y ejemplos de independencia lineal

Conclusión

Para concluir, en esta clase digital estudiamos las transformaciones lineales y el tema de eigenvalores y eigenvectores. Las aplicaciones de estos temas son muy variadas y se usan prácticamente en todas las aplicaciones digitales de tu dispositivo móvil y computadoras.

¡Has concluido la última clase del curso! ¡Muchas felicidades! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y encuentres satisfacción con los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión del curso. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!

Fuentes de información

• Howard, A. (1994). Introducción al álgebra lineal. (3^a ed.). limusa.
• Stanley, I., Grossman, S., & Flores Godoy, J. J. (2019). Álgebra Lineal. (8ª ed.). McGraw-Hill Interamericana.