Introducción al Álgebra Lineal, representación matricial y tipos de sistemas de ecuaciones
Introducción
¡Hola!
Es un privilegio darte la bienvenida a tu primera clase digital del curso de “Álgebra Lineal” en donde aplicaremos diferentes herramientas matemáticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.
Antes que nada, espero que estés teniendo un excelente día y que te encuentres bien de salud. Del mismo modo, te invito a participar y completar las consignas correspondientes para este curso donde se desarrollarán competencias para aplicar los conocimientos y las técnicas de Álgebra Lineal para así modelar y resolver fenómenos del campo de la Ingeniería Civil, empleando adecuadamente los procedimientos y las técnicas pertinentes.
Durante este curso aprenderemos sobre la resolución de ecuaciones lineales, comprendiendo desde las operaciones matriciales implicadas tal como la suma, resta y multiplicación de matrices, hasta la obtención de su inversa. Además, revisaremos los conceptos de espacios vectoriales, transformaciones lineales y otras herramientas matemáticas que nos facilitarán la representación de diversos fenómenos y problemas relacionados con el Programa de Ingeniería Civil.
A continuación, se indican algunas recomendaciones para completar la unidad de aprendizaje:
- En esta plataforma identificarás la información de manera secuencial, pero puedes consultar el material previo en caso de que presentes dudas en algún concepto o procedimiento.
- Es importante realizar las consignas correspondientes para así llevar a la práctica la información mostrada de manera digital.
- Finalmente, no olvides utilizar el chat de la plataforma para exponer tus dudas y comentarios.
Recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Espero que el curso sea de tu agrado.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
En esta primera clase revisaremos los tipos de sistemas de ecuaciones y su representación matricial.
Por sistema de ecuaciones nos referiremos al conjunto de ecuaciones que debemos resolver en conjunto para obtener el valor de las incógnitas.
Sistemas de ecuaciones inconsistentes:
- La solución de una ecuación no es compatible con al menos otra ecuación del mismo sistema. Es decir, no tienen solución.
Sistemas de ecuaciones consistentes determinadas:
- Sólo existe una solución (un valor para cada incógnita) para el sistema. Es decir, tienen solución única.
Sistemas de ecuaciones consistentes indeterminadas:
- Existen infinitas soluciones para el sistema. Normalmente esto ocurre cuando tenemos más incógnitas que ecuaciones.
Aunque también puede darse el caso en sistemas de ecuaciones donde el número de incógnitas sea igual o menor al número de ecuaciones, cuando dichas ecuaciones sean, en esencia, las mismas, por ejemplo:
Del ejemplo anterior, observa que la segunda ecuación en realidad es el doble de la primera ecuación, mientras que la tercera ecuación es el doble de la segunda. Dichas diferencias, en realidad no aportan más información al sistema de ecuaciones, porque se trata de la misma ecuación multiplicada por diferentes escalares (se abordará el hecho en el tema de operaciones elementales) y por dicho motivo no se afecta el valor de las incógnitas.
Es importante señalar, del mismo modo, que todos los sistemas de ecuaciones se pueden representar de manera matricial, colocando de manera ordenada el valor de los coeficientes de cada término dentro de una “caja” simbolizada con paréntesis y llamada matriz. Tal como el siguiente ejemplo:
O bien, podemos representarla como una matriz aumentada, si colocamos una línea punteada que divida los coeficientes de los términos con incógnitas del lado izquierdo, mientras que colocamos los resultados (o constantes) de cada ecuación en lado derecho, de la manera que se muestra a continuación:
Es importante recalcar que los valores deben estar ordenados lo que facilitará la resolución de ejercicios más complejos que revisaremos en clases posteriores.
Conclusión
En conclusión, hemos definido que los sistemas de ecuaciones deben resolverse en conjunto para identificar el valor de sus incógnitas. De esta manera podemos clasificarlos en:
- Inconsistentes
- Consistentes determinados
- Consistentes indeterminados
Los sistemas de ecuaciones inconsistentes no tienen solución, pues al asignar valores a una ecuación del sistema, dichos valores serán incompatibles con el resto de las ecuaciones. Los sistemas consistentes determinados, poseen una solución única para cada incógnita del sistema. Mientras que los sistemas indeterminados poseen infinidad de valores posibles para sus incógnitas.
Asimismo, vimos que estos sistemas de ecuaciones pueden representarse de forma matricial si colocamos de manera ordenada los coeficientes de cada término dentro de una caja denominada matriz.
Hemos llegado al final de esta primera sesión ¿qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase.
¡Has comenzado muy bien!
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.