Ley de Hooke y el módulo de elasticidad
Introducción
¡Hola!
Es un gusto saludarte y darte la bienvenida a esta primera clase del curso Ondas y Óptica. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.
Esta clase se relaciona con la elasticidad de los materiales. Es un tema que resulta de importancia primordial para la ingeniería mecánica, mecatrónica, civil, arquitectura y en general con el estudio de los materiales y su comportamiento mecánico.
Abordaremos en esta lección conceptos de importancia y significado primordial para el estudio de la elasticidad y en particular, para apoyar tu estudio y aprendizaje de las clases digitales 2 y 3. En especial, me refiero a la ley de Hooke, al concepto de deformación y al de módulo de elasticidad, sin pasar por alto los tipos de esfuerzo, lo que significa el límite elástico, la resistencia límite y, de manera fundamental, establecer la analogía entre la estructura que tiene la fórmula para calcular la constante del resorte y plantear, de la misma manera, la expresión matemática que nos permite calcular el esfuerzo longitudinal, el esfuerzo de corte y el esfuerzo de volumen, conociendo los valores del módulo de Young, el módulo de corte o, en su caso, el módulo de volumen.
¡Vamos! ¡Iniciemos el trabajo de aprendizaje con optimismo y entusiasmo! ¡Adelante!
Desarrollo del tema
Ley de Hooke
Podemos estudiar el comportamiento de los materiales sometidos a la acción de una carga si observamos la respuesta de los resortes cuando actúa sobre éstos una fuerza capaz de causar una deformación de longitud. Si la fuerza es de tensión, el resorte sufrirá un alargamiento, lo cual se expresa como un cambio de longitud positivo + ∆l; y si la fuerza aplicada es de compresión, el resorte se acortará, dando como resultado un cambio de longitud negativo -∆l.
El físico inglés Robert Hooke (1635-1703) logró establecer mediante la experimentación la relación entre la fuerza F que actúa sobre un resorte y la deformación s que se produce, como lo muestra la figura 1.2.
Nota: Relación entre los parámetros F, k y s.
Fuente: (Tippens, 2011, p. 266)
La ley de Hooke se expresa generalmente mediante la fórmula
En ésta, F representa la fuerza en newtons [N], s es la deformación del resorte en metros [m] o centímetros [cm] y k es la constante del resorte, constante elástica o incluso módulo del resorte, en [N/m] o en [N/cm]. En la figura 1.3 se muestra un resorte sometido a tensión; en este caso k es igual a 20 N/cm.
Los siguientes videos te ayudarán a comprender la fórmula y su aplicación para resolver algunas situaciones relacionadas
1. Teoría de la Ley de Hooke (10:26)
2. Problema de la Ley de Hooke (5:12)
3. Ley de Hooke problemas resueltos (5:51).
Si al desaparecer la fuerza el resorte regresa a su longitud original se dice que se comporta elásticamente; en el caso de que al retirar la fuerza el resorte ya no recupere su dimensión original, entonces el resorte habrá sufrido una deformación plástica o permanente.
Módulo de elasticidad
La ley de Hooke puede ser usada para estudiar la deformación de todos los cuerpos elásticos, (Tippens, 2011, p. 266). Sin embargo, en tal caso es necesario definir los conceptos de esfuerzo y deformación. El esfuerzo es la causa de la deformación y la deformación es el efecto, el resultado de la acción de la fuerza y se manifiesta como una alteración de la forma del objeto.
El esfuerzo se define como la razón de la fuerza aplicada entre el área sobre la cual actúa y puede ser de varios tipos. El esfuerzo de tensión es aquel en el que dos fuerzas iguales actúan en la misma dirección pero en sentido opuesto (fig. 1. 4); si un par de fuerzas iguales se aplican sobre el objeto en la misma dirección pero sentido contrario, ocurre el esfuerzo de compresión (fig. 1. 5); el esfuerzo cortante se presenta cuando el par de fuerzas iguales actúan opuestas y no poseen la misma línea de acción (fig. 1. 6).
Fuente: (Tippens, 2011, p. 266).
El video ‘Tipos de esfuerzos’ presentado a continuación ayudará en aclararte algunas dudas que pudieran surgir:
4. Tipos de esfuerzos (2:43)
El esfuerzo longitudinal, de tensión o de compresión, puede calcularse empleando la fórmula
En esta expresión, (léase ‘sigma’) es el esfuerzo longitudinal, en pascales [Pa], F es la fuerza aplicada, en newtons [N] y A es el área de la sección transversal, perpendicular a la línea de acción de la fuerza aplicada, en [m2].
Ahora bien, la deformación es el efecto o resultado de aplicar un esfuerzo a un cuerpo, manifestándose como un cambio relativo de las dimensiones o forma del objeto y se define (Tippens, 2011, p. 267), como el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un objeto como resultado de la aplicación de un esfuerzo.
Nota: Elongación ∆l del alambre como resultado del esfuerzo aplicado. Fuente; (Tippens, 2011, p. 267)
También conocida como deformación longitudinal o deformación unitaria, ésta se calcula con la fórmula
En esta relación ε representa la deformación longitudinal o deformación unitaria, una cantidad adimensional que puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud; ∆l=lf-l0, es la elongación o cambio de longitud, lf es la longitud final y l0 es la longitud inicial; las unidades de ∆l, lf y l0 deben ser las mismas, sean metros [m], centímetros [cm], pulgadas [in], pies [ft], etc. A continuación, en el siguiente video se explica un ejemplo del cálculo de la deformación unitaria:
5. Deformación unitaria (4:50)
En relación a la deformación unitaria, se define el límite elástico como el esfuerzo máximo que puede aplicarse a un cuerpo sin que éste sufra una deformación permanente; siendo un esfuerzo, generalmente se expresa en pascales. Ahora bien, el esfuerzo máximo al que puede ser sometido un alambre o material alargado sin que se rompa, recibe el nombre de resistencia límite. Tanto el límite elástico como la resistencia límite son propiedades intensivas de los materiales. La figura 1.8 expone la relación gráfica entre estos conceptos:
Si de la ley de Hooke despejamos la constante k del resorte se obtiene la expresión
Es decir, que la relación de la fuerza aplicada F a la deformación s, es una constante. Así, para el caso de los materiales en los que no se excede el límite elástico (Tippens, 2011, p. 268) la ley de Hooke se puede aplicar a cualquier deformación elástica: “siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación elástica es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo)”. Si se le llama ‘módulo de elasticidad’ a la constante de proporcionalidad, la ley de Hooke se puede escribir en su forma más general como sigue:
La relación anterior resulta análoga a la expresión obtenida anteriormente para el resorte k=F/s: k es análoga al módulo de elasticidad, la fuerza F al esfuerzo y la elongación s a la deformación. Tal formato será bastante útil para interpretar la relación entre el esfuerzo longitudinal, el esfuerzo cortante y el esfuerzo de volumen con la correspondiente deformación que es causada por cada tipo de esfuerzo.
Conclusión
En conclusión, en esta clase digital han sido explicados con cierta sencillez los conceptos que resultan primordiales para entender y ahondar el tema de la elasticidad de los materiales.
Inicialmente nos hemos apoyado en la ley de Hooke aplicada directamente a los resortes; a partir de esta ley aprendimos lo que es la deformación, deducimos que la fuerza aplicada es la causante y que ,en tanto un resorte sea exigido dentro de su límite elástico, siempre recuperará su longitud inicial cuando desaparezca la fuerza que lo deformó. Interesantemente llamamos a la constante de deformación del resorte, el módulo del resorte, como una preparación al concepto más general de módulo de elasticidad que aplica para todos los materiales elásticos.
Después conocimos los tipos de esfuerzo y sus características, principalmente se habló del esfuerzo de tensión, de compresión y el esfuerzo cortante, para estudiar después lo que es la deformación longitudinal o deformación unitaria, utilizando como referencia la aplicación de fuerzas sobre materiales alargados.
Hacia el final de la lección se habló del esfuerzo de límite elástico, la resistencia límite para no provocar la falla de los materiales, así como del concepto de módulo de elasticidad, cuya analogía con la ley de Hooke para los resortes helicoidales será de extrema utilidad para relacionar y recordar, sin memorizar, la forma que toma la ley de Hooke para los esfuerzos longitudinales, los esfuerzos cortantes y los esfuerzos de volumen.
Estudia, comprende y aprende muy claramente los conocimientos de esta lección, los cuales te facilitarán el estudio más profundo acerca de los módulos de Young, de corte y de volumen. Apóyate, en lo posible, en el archivo que se adjunta en la fuente de información 1, a continuación.
Hemos llegado al final de nuestra primera clase digital del curso. Te invito a estudiar a conciencia los contenidos abordados para resolver y cumplir exitosamente con la consigna correspondiente. Cualquier duda o complicación que surja trata de resolverla repasando los conceptos para reforzar tu competencia de aprendizaje autónomo. En caso de que las dudas persistan consulta a tu asesor de manera virtual y, de ser posible, preferentemente durante las sesiones presenciales o síncronas.
¡Ánimo, sigue adelante!