Los números reales, Axiomas de los números reales, Intervalos y su representación gráfica, Valor absoluto y propiedades
Introducción
¡Hola!
Es un privilegio darte la bienvenida a tu primera clase digital del curso de Cálculo Diferencial en donde aplicaremos diferentes herramientas matemáticas y aprenderemos a resolverlas adecuadamente. Espero que te mantengas con mucho ánimo y disfrutes este curso preparado para ti.
En está primer sesión, comprenderás la clasificación y propiedades de los números reales, donde, en primer instancia se realizará un acercamiento al lenguaje matemático a través de la representación de conjuntos de números expresados en diferentes notaciones, los cuales se denominan R, posteriormente en conjunto con las operaciones algebraicas básicas (suma, resta, multiplicación y división) se satisfacerá trece axiomas.
A través de los axiomas, resolverás desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita así como desigualdades de valor absoluto, resultado que podrá representarse gráficamente y analíticamente en diversas notaciones.
En el planteamiento de situaciones reales o supuestas, reconocerás las propiedades básicas de los números reales, plantearás las desigualdades de primer y segundo orden con una incógnita que modelan la situación planteada, resolverás la desigualdad y serás capaz de representar la solución en forma gráfica y analítica.
Recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Espero que el curso sea de tu agrado.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
En la actualidad, los objetos han dejado de contarse a través de cuentas, bolas de barro o en tablillas. Pues los números han adquirido sus símbolos propios. Esto significa que, para contar objetos, ya no se utiliza un símbolo que se designaba al objeto sino que se escribe el número acumulado del objeto. Cada civilización creó diferentes símbolos y reglas para representar los números.
El sistema de numeración comúnmente empleado en la actualidad es el sistema decimal, que utiliza el conjunto de números arábigos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. La posición de cada número esta en base 10 y se emplea el punto decimal para separar las potencias positivas de las negativas.
Los números reales.
Los números se han clasificado de varias formas, actualmente la definición de número esta relacionada con la pertenencia a un conjunto de números que deben cumplir ciertas propiedades. Gauss clasifica a los números en naturales, enteros, racionales, irracionales,reales y complejos.
Números naturales (N)
Entre las propiedades más importantes de este conjunto podemos mencionar la existencia de un orden, la existencia del 1 como primer elemento, que todo número natural tiene otro como sucesor y que todo número natural, excepto el número 1.
En N se definen dos operaciones: la suma y el producto. Se verifica que ambas operaciones son cerradas, conmutativas y asociativas, la suma distribuye respecto al producto. El número natural 1 es el neutro multiplicativo. Sin embargo, estas propiedades no son suficientes para describir algunos fenómenos físicos, por ejemplo, las temperaturas bajo cero, las altitudes por debajo del mar o la distancia entre dos puntos iguales; en concreto, carecen de un elemento neutro aditivo y de inversos aditivos.
Números enteros (Z)
Los números enteros se constituyen por los inversos aditivos de los números naturales, el cero y los naturales
Z={…,-2,-1,0,1,2,..}
Las características de los números enteros Z, son todo aquel número que tiene un antecesor y un sucesor, por lo tanto el conjunto Z es infinito, el conjunto Z es discreto, todo número entero z tiene su opuesto -z, tal que z+(-z)=0, en el conjunto z los números enteros están definidos por las operaciones de adición, resta y multiplicación.
Números racionales e irracionales
La operación de división entre dos números enteros como 5/4, donde el numerador no es un múltiplo del denominador carece de sentido en el conjunto de los números enteros, esto dio origen a la clasificación del conjunto de los números racionales.
El conjunto de los números racionales se denota por Q, es el conjunto de números enteros que se pueden escribir como el cociente de dos números enteros
Los números irracionales se conocen como números fraccionarios, ya que el numerador representa tantas partes de un todo dado por el denominador. Los números fraccionados se dividen en fracciones propias donde el numerador es menor que el denominador y fracciones impropias donde el numerador es mayor o igual que el denominador. Las operaciones de suma y multiplicación son cerradas al conjunto de números racionales es decir, dan como resultado otro número racional.
El conjunto de números irracionales I se define como una expansión decimal infinita no periódica
I= {x es una expansión decimal infinita no periódica}
Ejemplo de números racionales
Ejemplo de números irracionales:
Pruebate a ti mismo
- Expresa el número racional en forma decimal 1/5
Solución
Divide 1 entre 5.
2. Demuestra que la expansión decimal 0.18 es un número racional
Solución
Plantea la expansión decimal como una incógnita
x = 0.18
Multiplicando por 100
100x = 18
Despejando x
Números reales
El conjunto de números reales se define como la unión de los números racionales e irracionales, es decir,
R=Q∪I, es importante observar que los números racionales e irracionales son conjuntos disjuntos, esto es
N ∁ Z ∁ Q ∁ R
Cota superior
Un conjunto A no vacío de números reales es acotado superiormente, si y sólo si, existe un número real M que es mayor o igual a todos los elementos del conjunto A, es decir:
Existe M ∈ R, para todo x∈A tal que M≥x
El número M se denomina cota superior de A
Supremo
Se dice que un conjunto A posee supremo, si existe un número real S que satisface las dos siguientes condiciones
- S es una cota superior de A
- S es la menor de las cotas superiores de A
Lo cual se denota por S=Sup(A). Si A tiene una cota superior mínima, entonces es única.
Ejemplo:
Encuentra la cota superior y supremo si existen, del conjunto A = {x < 1}
Solución
El conjunto A = {x<1}, está formado por todos los números reales ubicados a la izquierda de x=1 como se muestra
como M=1 es una cota superior de A, asimismo, todos los números mayores que 1 también son cota superior de A.
Siendo M=1 la menor de las cotas superiores el Sup(A)=1
La recta numérica
El conjunto de los números reales se puede representar en una recta numérica, partiendo de la noción de orden, la recta se construye trazando un segmento de recta en un punto arbitrario al que se llama origen y representa cero. Hacia la derecha del cero se ubican todos los números reales positivos y a la izquierda del cero los números reales negativos. Cada punto de la recta representa un número y sólo un número real y cada número real ocupa uno y solo un punto en la recta. La relación entre estos dos objetos matemáticos se conoce como inyectiva o uno a uno.
Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales cuya representación geométrica es un segmento de recta entre dos valores dados a y b, y cuya longitud se determina mediante la operación de diferencia b-a.
Tipos de intervalos
De acuerdo con las características tipológicas de un intervalo, se clasifican en abiertos, cerrados, mixtos (semiabiertos), infinitos y el conjunto de los números reales
Operaciones con intervalos
Unión
Dados los conjuntos A y B, la unión es la operación que reúne los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B
A U B = {x ϵ R | x ϵ A o x ϵ B}
Ejemplo.
Determina (-2,16] U [12,20)
Solución forma gráfica
Solución forma analítica
(-2,16] U [12,20) = (-2,20)
Intersección
Si se tienen dos conjuntos cualesquiera A y B, la intersección del conjunto A con el Conjunto B, denotada como A ∩ B, es el conjunto de los elementos A que también pertenecen a B
A ∩ B = {x ϵ A y X ϵ B}
Ejemplo.
Determina (-2,16] ∩ [12,20)
Solución gráfica
Solución analítica
Determina (-2,16] ∩ [12,20) = [12,16)
Complemento
Sea A un conjunto cualquiera tal que A ∁ R, el complemento A denotado por Ac es el conjunto de los elementos de R que no están en A y se denota como:
Ac = R-A = {x∈R|x∈A}
Ejemplo
Determina Ac si A = (1,6]
Solución analítica
Solución gráfica
Valor absoluto y sus propiedades
El valor absoluto esta relacionado con el concepto de distancia, sin importar el signo del número real, el valor absoluto de todo número corresponde a su valor numérico.
Sea a ∈ R el valor absoluto de a es:
Ejemplo
Determina el valor absoluto:
a) |3| = 3
b) |-8| = -8(-8) = 8
c) si |x-5| = 10, entonces x-5=10;x=5+10;x=15 ó x-5=-10;x=-10+5;x=-5
Conclusión
En conclusión
Los axiomas de los números reales permiten realizar las operaciones algebraicas básicas, los intervalos permiten conocer los valores por los cuales las desigualdades se cumplen, una desigualdad estricta significa que no se pueden tocar los extremos de los valores del conjunto solución y una desigualdad no estricta significa que se pueden tocar los extremos de los valores en el conjunto solución estos si son conjuntos cerrados. En un conjunto, un paréntesis significa que no se puede tocar ese extremo y un corchete que se puede tocar.
Hemos llegado al final de esta primera sesión ¿qué te pareció? Espero que hayas aprendido cosas nuevas acerca del tema, pues esto te hará más sencillo el recorrido de este curso. Sigue adelante, realiza y manda la tarea asignada. Te espero en la siguiente clase.
¡Has comenzado muy bien!
Fuentes de información
- Zill, D. G., & Wrigth. W. S. (2011). Matemáticas 1: Cálculo Diferencial. México: MC Graw Hill.