Números reales y propiedades de las operaciones
Introducción
¡Bienvenidos a la emocionante primera clase digital de «Números Reales y Propiedades de las Operaciones» en el marco de nuestra Licenciatura en Agronegocios! En esta clase, nos adentraremos en uno de los pilares fundamentales de las matemáticas: los números reales y las reglas que gobiernan las operaciones con ellos.
Los números reales son como los ingredientes esenciales de una receta, indispensables para entender y resolver problemas matemáticos en la vida real. Representan cantidades continuas y se dividen en números racionales (fracciones) y números irracionales (como la raíz cuadrada de 2 o pi). A diferencia de los números naturales, que usamos para contar, los números reales son como una herramienta mágica que puede manejar tanto lo extremadamente pequeño como lo inmensamente grande.
A lo largo de este micro-curso, exploraremos los diversos tipos de números reales, desde los racionales hasta los irracionales, y aprenderemos cómo se conectan entre sí. También desentrañaremos las propiedades fundamentales de las operaciones, como la suma y la multiplicación. Comprender estas propiedades es como tener una llave maestra para desbloquear el potencial de los números y resolver ecuaciones complicadas. Estas habilidades no sólo son valiosas en el mundo académico, sino que también se aplican en situaciones cotidianas, desde compras inteligentes hasta análisis estadísticos que ayudan a tomar decisiones informadas.
Los números reales y las propiedades de las operaciones son herramientas poderosas que enriquecerán tu comprensión del mundo que te rodea. Así que, sin más demora, ¡vamos a embarcarnos en este fascinante viaje de descubrimiento matemático!
Desarrollo del tema
1.1 Orden y valor absoluto en los números reales
Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o un símbolo y recibe el nombre de numeral. En aritmética, existen varios tipos de conjuntos numéricos que se utilizan para clasificar y representar diferentes tipos de números. A continuación, se presentan los tipos más comunes de conjuntos numéricos en aritmética:
- Números naturales (N)
- Números enteros (Z)
- Números racionales (Q)
- Números irracionales (I)
- Números reales (R)
Estos son los conjuntos numéricos más habituales en aritmética. Ahora que los has conocido, te invito a explorar el siguiente VideoQuiz: «Conjuntos Numéricos,» que te ayudará a mejorar tus habilidades en matemáticas y comprender los diferentes tipos de números y sus propiedades. Estoy seguro de que será una herramienta excelente para fortalecer tu conocimiento en este tema específico. Puedes acceder al VideoQuiz a través de este enlace:
Ahora, es momento de adentrarnos en el orden natural que existe en los números reales, el cual se establece en la recta numérica. Este orden se basa en la magnitud de los números y se representa mediante los símbolos «<» (menor que) y «>» (mayor que). A continuación, describiremos las principales características del orden en los números reales:
El valor absoluto es una función matemática que se aplica a los números reales y proporciona su magnitud sin considerar su signo. En otras palabras, el valor absoluto de un número real siempre es no negativo. El símbolo para el valor absoluto del número «x» es |x|, el cual se lee como «el valor absoluto de x.» Por ejemplo:
- El valor absoluto de 5 es |5| = 5, ya que 5 es mayor o igual a cero.
- La distancia entre 2 y 0 en la recta numérica es de 2 unidades, por lo que |2| = 2.
- El valor absoluto de -3 es |-3| = 3, ya que -3 es menor que cero y su opuesto es 3.
El valor absoluto tiene varias propiedades útiles, como la propiedad de no negatividad (|x| ≥ 0), la propiedad de multiplicación (|xy| = |x| * |y|) y la propiedad triangular (|x + y| ≤ |x| + |y|).
Para una explicación más detallada sobre el concepto de valor absoluto en los números reales, sus propiedades y cómo aplicarlo en diversas situaciones matemáticas, te recomiendo ver el siguiente video proporcionado por GCFAprendeLibre:
1.2 Orden y propiedades de las operaciones
Las operaciones fundamentales en matemáticas se refieren a las cuatro operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división. Estas operaciones son cruciales, ya que son la base para realizar cálculos y resolver problemas en diversas áreas de las matemáticas.
| Suma | 2 + 3 = 5 | donde 2 y 3 son los sumandos y 5 es la suma total |
| Resta | 5 – 3 = 2 | donde 5 es el minuendo, 3 es el sustraendo y 2 es la diferencia |
| Multiplicación | 2 × 3 = 6 | donde 2 y 3 son los factores y 6 es el producto |
| División | 6 ÷ 2 = 3 | donde 6 es el dividendo, 2 es el divisor y 3 es el cociente |
Es fundamental recordar que al realizar estas operaciones, debemos respetar las reglas del signo, que son reglas básicas aplicables a las operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) para determinar el signo del resultado. La tabla 1 explica cuál es el signo resultante según cada caso.
- Si los números que se suman tienen signos diferentes, se resta el número con el mayor valor absoluto al número con el menor valor.
Para continuar con este trayecto formativo, analiza detenidamente el recurso digital y da clic en el menú horizontal para cambiar de diapositiva.
También existe un orden para resolver estas operaciones, que se rige por las reglas de la jerarquía de operaciones. Estas reglas determinan el orden en el que se deben realizar las operaciones matemáticas cuando se tienen varias operaciones en una expresión. El orden correcto es el siguiente:
- Paréntesis
- Exponentes o potencias
- Multiplicación y división
- Suma y resta
Ahora, te invito a ver el siguiente video proporcionado por GCFAprendeLibre. Este video te ayudará a comprender cómo aplicar estas reglas en diferentes expresiones matemáticas y a evitar errores comunes al resolver problemas matemáticos.
Las operaciones también cuentan con otras reglas que describen cómo se comportan estas operaciones y cómo interactúan entre sí. Estas reglas se llaman propiedades y se mencionan en la siguiente tabla:
| Operación | Propiedad | Descripción | Ejemplo |
| Suma | Conmutativa | El orden de los sumandos no afecta el resultado. | a + b = b + a |
| Suma | Asociativa | La agrupación de los sumandos no afecta el resultado. | (a + b) + c = a + (b + c) |
| Suma | Elemento neutro | El número cero (0) actúa como el elemento neutro de la suma. | a + 0 = a |
| Resta | Inverso aditivo | Restar un número es equivalente a sumar su opuesto. | a – b = a + (-b) |
| Multiplicación | Conmutativa | El orden de los factores no afecta el resultado. | a * b = b * a |
| Multiplicación | Asociativa | La agrupación de los sumandos no afecta el resultado. | (a * b) * c = a * (b * c) |
| Multiplicación | Elemento neutro | El número uno (1) actúa como el elemento neutro de la multiplicación. | a * 1 = a |
| Multiplicación | Distributiva | La multiplicación se distribuye sobre la suma. Esto significa que multiplicar un número por la suma de dos números es igual a la suma de los productos de ese número por cada uno de los sumandos. | a * (b + c) = (a * b) + (a * c) |
| División | Inverso multiplicativo | Dividir por un número es equivalente a multiplicar por su inverso multiplicativo. | a / b = a * (1/b) |
1.3 Aplicación de los números reales
Los números negativos también son de utilidad, ya que se aplican en algunas situaciones de la vida diaria. Por ejemplo, se utilizan para representar bajas temperaturas en lugares donde el termómetro llega a mostrar medidas por debajo de cero. Además, es común encontrar un saldo negativo o por debajo de cero en cuentas bancarias.
A continuación, te presento dos recursos propuestos por Notemates (s.f), que te brindarán otra perspectiva de las matemáticas y te mostrarán la utilidad de los números en la vida cotidiana. Estos recursos te permitirán explorar cómo las matemáticas y los números están presentes en nuestra vida de formas sorprendentes y útiles:
Este video explora cómo las matemáticas se aplican de manera sencilla para obtener información concreta en nuestra vida diaria. Ofrece una perspectiva interesante sobre la importancia y aplicaciones prácticas de los números en diferentes contextos.
1.4 Números racionales e irracionales
Como vimos en temas anteriores, un número racional se puede definir como aquel número que puede expresarse como una fracción. Por ejemplo:
También sabemos que las fracciones se utilizan para representar cantidades que no son números enteros. En la práctica, es común emplear números decimales para indicar esas cantidades. Por ejemplo:
Para sumar o restar números fraccionarios con igual denominador, se mantiene el mismo denominador y se suman o restan los numeradores. En el caso de sumar y restar números fraccionarios con distintos denominadores, se buscan fracciones equivalentes cuyo denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores dados. Ejemplo:
Para multiplicar números racionales, si ab y cd son números racionales, entonces:
Para dividir números racionales, si ab y cd son números racionales, donde cd ≠ 0, entonces:
Por otro lado, los números irracionales son aquellos que no pueden representarse como un cociente de enteros y se expresan como decimales no periódicos y no terminantes. Te invito a explorar el siguiente material, «Los Decimales: Clasificación de los Decimales,» proporcionado por GCFGlobal (s.f), donde se explican las diferentes categorías de números decimales, incluyendo decimales exactos, periódicos y no periódicos.
Puedes acceder a este recurso a través del siguiente enlace:
Además, te invito a leer un artículo sobre el número π (pi) escrito por David Blatner, autor de «The Joy of Pi,» para la BBC en Inglaterra. Te sorprenderá el tiempo que se ha dedicado a este número irracional o racional. Puedes investigarlo tú mismo a través del siguiente enlace:
Los números racionales e irracionales nos permiten representar y expresar cantidades precisas que no pueden expresarse como números enteros. Estos números son esenciales para medir y calcular magnitudes en campos como la física, la geometría y la ingeniería.
Conclusión
Los estudios de los números surgen como respuesta a la necesidad humana de comprender los fenómenos, cuantificar situaciones cotidianas y resolver problemas. Las operaciones matemáticas son herramientas esenciales que nos permiten abordar estos desafíos de manera ordenada y eficiente. Mantener un orden en la aplicación de las operaciones es crucial, ya que la representación gráfica y la jerarquía en su aplicación son fundamentales para lograr resultados precisos.
Las propiedades de las operaciones, como la conmutatividad, la asociatividad y la distributividad, son fundamentales para abordar problemas matemáticos más complejos. Estas propiedades establecen reglas que son válidas para cualquier número real y facilitan la simplificación y manipulación de expresiones matemáticas. También permiten resolver ecuaciones, simplificar fracciones y expresiones algebraicas, y realizar cálculos de manera eficiente.
Los números reales y las propiedades de las operaciones conforman un sistema matemático sólido y completo que nos brinda la capacidad de representar, manipular y calcular cantidades de forma precisa y coherente. El orden en los números reales es esencial para realizar comparaciones, organizar conjuntos de números y resolver desigualdades. Además, nos permite establecer relaciones de magnitud y secuencia entre los números, lo que resulta fundamental en diversos campos, desde las ciencias naturales hasta la economía y la ingeniería.
En resumen, el conocimiento de los números reales y las propiedades de las operaciones matemáticas es esencial en la vida cotidiana y en el ámbito académico y profesional. Estas herramientas nos capacitan para abordar situaciones de la vida real, resolver problemas complejos y tomar decisiones informadas basadas en el razonamiento lógico y cuantitativo. El dominio de estos conceptos contribuye de manera significativa a la adquisición de aprendizajes profundos y significativos en el ámbito de las matemáticas y más allá.
Para finalizar la clase te invitamos a contestar el siguiente examen:
Fuentes de información
- Aguilar M, A., Bravo Vázquez, F., & Gallego Ruiz, H. (2009). Matemáticas simplificadas. Prentice Hall. https://drive.google.com/file/d/0B8uuoDP4HDHOTVhlVHh2RTVyZzg/edit?resourcekey=0-CkxNEsahz1LnkVQKRSdWcQ
- Egoavil, J. R. (2014). Fundamentos de matemática: Introducción al nivel universitario (pp. 11-32). Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. https://search-ebscohost-com.ugto.idm.oclc.org/login.aspx?direcd=true&db=e000xww&AN=1042759&lala=es&site=ehost-live&scope=site.
- Figueroa, M. (2010). Aritmética y álgebra (pp. 89-114). Firmas Press. https://elibro-net.ugto.idm.oclc.org/es/ereader/ugto/36338?page=1