Clase digital 2. Lenguaje algebraico

Lenguaje algebraico

Introducción

¡Hola! Es bueno encontrarte nuevamente. Ahora que avanzaste a la segunda clase y que has reflexionado y comprendido el tema anterior, pasemos al siguiente tema titulado “Lenguaje algebraico”.

La palabra álgebra proviene del trabajo desarrollado por el árabe Muhammed ibn Musa al-Khwarizmi en el siglo IX, desde entonces, el álgebra ha sido una maravillosa rama de la matemática, la cual te permitirá pensar con claridad, esto se sustenta porque, en el álgebra todas las reglas son explícitas, solo hay que seguirlas.

La gran diferencia entre el álgebra y la aritmética, también elemental, consiste en que en el álgebra se opera no solo con números, sino también con símbolos y otras entidades que no son o no tienen las mismas propiedades que los números. Pero no hay que asombrarnos de nada.

Comenzaremos por comprender qué es el lenguaje algebraico y por qué es importante en matemáticas. Durante el transcurso de los temas aprenderemos a identificar términos, coeficientes y variables en expresiones algebraicas, y exploraremos cómo representar situaciones reales mediante el uso del lenguaje algebraico.

Asimismo, aprenderemos a combinar términos semejantes, aplicar las propiedades de las operaciones, y utilizar reglas de exponentes y radicales. Además, practicaremos la simplificación de expresiones utilizando diferentes ejemplos y ejercicios. Finalmente, nos adentraremos en el estudio de las desigualdades algebraicas, las cuales vamos a resolver y graficar.

La gran ventaja que tiene el álgebra y que tú vas a corroborar, es que nos provee del marco adecuado para trabajar con problemas generales que tienen la ventaja de que, una vez resueltos, nos permiten resolver una infinidad de situaciones correspondientes.

¡Pon manos a la obra y enfócate en tu proceso de aprendizaje!

Desarrollo del tema

2.1 Teoría de los exponentes y radicales

Un exponente es un valor índice que me indica el número de veces que se va a multiplicar otro valor conocido como base. El exponente se coloca arriba y a la derecha del valor base.

Es importante tener en cuenta las reglas y propiedades de los exponentes, como la ley de los exponentes para la multiplicación, la ley de los exponentes para la división y la ley de los exponentes para la potenciación de un exponente. Estas reglas nos permiten simplificar y operar con expresiones que contienen exponentes de manera más eficiente. A continuación, te presento las principales reglas y propiedades de los exponentes:

Para n y m enteros y a y b números reales:

Para continuar con este trayecto formativo, analiza detenidamente el recurso digital y da clic en el menú horizontal para cambiar de diapositiva.

Una vez abordado los conceptos y propiedades del exponente, es momento de conocer a los números racionales, lo cual es necesario para un conocimiento exacto del significado de <raíz de un número>. Así, te darás cuenta que ambos términos están relacionados. Te explico:

Partimos con la definición de una raíz nésima es, para un número natural n, y a y b números reales:

Si todas las propiedades de los exponentes se mantienen constantes, aunque algunos de los exponentes sean números racionales, entonces:

Esto lleva a la siguiente definición:

Para n es un número natural y b un número real, b1/n es la raíz principal nésima de b. Esto se puede definir como:

También llegamos a lo siguiente:

Para un número natural n más grande que 1 y b un número real, se define ⁿ√ b la raíz principal nésima, es decir:

Entonces, podemos cambiar hacia atrás y hacia adelante tanto en las formas con exponentes racionales como en las formas con radicales. Esto se hace de la siguiente manera:

Al proceso de cambio y simplificación de expresiones radicales se les suma la introducción de varias propiedades de los radicales, que se deducen directamente de las propiedades de los exponentes anteriormente considerados, como sigue:

Es importante tener en cuenta que algunos radicales tienen soluciones exactas, como los ejemplos anteriores, mientras que otros pueden dar lugar a números irracionales, como la raíz cuadrada de 2√2, que no se puede expresar como una fracción exacta.

Es momento de medir tu aprendizaje, te pido acceder a los siguientes ejercicios interactivos propuestos por Marta (2023j, 2020a). Recuerda aplicar las reglas y propiedades que hemos aprendido para los exponentes y radicales. Si tienes alguna duda o necesitas más ejercicios, estaré encantado de ayudarte.

2.2 Expresión algebraica

En matemáticas es frecuente utilizar expresiones que combinen números y letras o solamente letras. Esto lo hacemos cuando expresamos relaciones que se dan para todos los números. También cuando desconocemos el valor de algún dato lo representamos con una letra hasta que lo hallamos y cuando no sabemos el valor numérico de algún dato y hemos de escribir una expresión en la que interviene, aunque no se trate de hallar su valor.

Las expresiones que resultan de combinar números y letras relacionándolos con las operaciones habituales se llaman expresiones algebraicas. Estas expresiones se utilizan para representar y describir relaciones matemáticas y situaciones en términos generales, en lugar de valores numéricos específicos.

Muchas expresiones algebraicas que utilizaremos resultan de una <traducción> del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.

Te invito a ver el siguiente video interactivo de Expresiones algebraicas, Curso de Álgebra que te ayudará a reflexionar sobre el concepto de expresión algebraica. Aquí aprenderás más sobre cómo identificar y manipular las variables, constantes y operaciones en una expresión algebraica, así como su importancia en la resolución de problemas matemáticos y en la comprensión de las relaciones matemáticas. ¡Disfrútalo y espero que te sea de gran ayuda en tu aprendizaje!

Como se explicó en el video, en una expresión algebraica podemos sustituir las letras por valores concretos y si hacemos las operaciones correspondientes obtendremos un resultado y será el valor numérico de la expresión para esos valores de letras. Naturalmente, una expresión algebraica tendrá tantos valores numéricos como valores podamos dar a las letras. Ejemplo:

También podemos clasificar las expresiones algebraicas según su naturaleza o por el número de términos:

Según la naturaleza del exponente {Racional {entera fraccionaria Irracional

Según número de términos {Monomios→1 término Polinmios{Binomios→2 términos Trinomios→3 términos Cuatrinomios→4términos

También en el video pudiste ver que las expresiones algebraicas tienen variables y están elevadas a un exponente, a esa característica se le denomina grado.

Ahora, pongamos manos a la obra y evalúa el aprendizaje que has adquirido hasta este momento. Realiza la siguiente prueba diagnóstica interactiva que está en Khan Academy, encontrarás preguntas sobre los temas vistos, recuerda que puedes revisar tus lecciones:

2.3 Ecuaciones lineales

Una ecuación es la afirmación de que dos expresiones algebraicas son iguales. Las ecuaciones lineales expresan relaciones lineales entre las variables involucradas. El objetivo principal al resolver una ecuación lineal es encontrar los valores de las variables que satisfacen la igualdad y estos valores se denominan soluciones o raíces de la ecuación.

Una ecuación lineal en una variable solo incluye números reales y una variable. Una ecuación en la variable
x es lineal si puede escribirse en la forma:

Una ecuación lineal en una variable también se llama ecuación de primer grado, ya que la potencia más grande de la variable es uno. Si en una ecuación se reemplaza la variable por un número real que haga que el enunciado sea verdadero, entonces dicho número es una solución de la ecuación. Por ejemplo:

Una ecuación se resuelve si se encuentra su conjunto solución, que es el conjunto de todas las soluciones. Las ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen el mismo conjunto de solución. Por lo general, las ecuaciones se resuelven comenzando con una ecuación inicial dada y generando una serie de ecuaciones más sencillas o equivalentes. Por ejemplo:

Son ecuaciones equivalentes, ya que cada una tiene el mismo conjunto de soluciones. Para producir ecuaciones equivalentes se usan las propiedades de adición y multiplicación de igualdad.

La propiedad distributiva permite combinar los términos semejantes tales como 4y y 2y. Por ejemplo:

Los pasos para resolver una ecuación lineal en una variable son los siguientes (no todas las ecuaciones requieren todos los pasos):

1. Eliminar todas las fracciones.
2. Simplificar cada lado por separado.
3. Colocar en un solo lado los términos que contengan la variable.
4. Transforme, de tal manera que el coeficiente de la variable sea 1.
5. Comprobar. Compruebe sustituyendo en la ecuación original.

El siguiente video de GCFAprendeLibre (2021), te explicará de manera detallada cómo puedes resolver una ecuación. Cubrirá los pasos y técnicas que hemos visto para encontrar las soluciones de una ecuación de manera clara y concisa. Te invito a revisarlo para fortalecer tus habilidades en la resolución de ecuaciones y mejorar tu comprensión del tema.

Recuerda que, si en las ecuaciones aparecen fracciones o decimales como coeficientes, el trabajo será más fácil si se multiplica ambos lados por el mínimo común denominador de todas las fracciones. Esta es una aplicación de la propiedad de multiplicación de la igualdad y produce una ecuación equivalente con coeficientes enteros. Ejemplo:

2.4 Desigualdades lineales

Una desigualdad lineal en una variable es como éstas: x + 5 < 2, y – 3 ≥ 5 o 2k + 5 ≤ 10. Una desigualdad lineal en una variable puede escribirse de la siguiente manera:

Una desigualdad lineal se resuelve al encontrar todos los números que permiten que esta se cumpla. Las desigualdades equivalentes son las que tienen el mismo conjunto de solución. Tales desigualdades se obtienen con las propiedades de la suma y multiplicación de la desigualdad.

Propiedad de la suma de la desigualdad

Ejemplo, resuelva: x-7<-12

x – 7 < – 12
x – 7 < – 12x – 7 + 7 < – 12
x < – 5

Sumar 7 en ambos lados

Por medio de la notación de conjuntos, el conjunto solución de esta desigualdad se escribiría como {x|x<-5}.

Conclusión

El lenguaje algebraico es muy importante para modelar muchas situaciones que se presentan en la naturaleza y en lo cotidiano, algunas pueden ser más complejas que otras, según la cantidad de variables que se manejen. El lenguaje algebraico nos permite identificar patrones y regularidades en conjuntos de datos o secuencias. Podemos encontrar fórmulas o expresiones algebraicas que describen estos patrones, lo que nos ayuda a hacer predicciones o extrapolar información más allá de los datos específicos.

Asimismo, el desarrollo del razonamiento algebraico nos da la oportunidad de comunicar un argumento matemático a través de un lenguaje especial, que lo hace más riguroso y general. Por lo tanto, es necesario conocer la gramática correcta que se debe emplear en esta escritura, de esta manera, evitamos ambigüedades en la justificación de los argumentos matemáticos, lo cual es esencial para demostrar cualquier resultado.

El lenguaje algebraico es esencial para resolver ecuaciones y desigualdades. Nos permite manipular símbolos algebraicos y aplicar reglas y propiedades para encontrar las soluciones o establecer las condiciones en las que se cumplen las desigualdades.

Estas ecuaciones y desigualdades se utilizan para modelar situaciones en las que las cantidades involucradas tienen una relación lineal. Al resolver ecuaciones lineales, encontramos los valores específicos de las variables que satisfacen la igualdad. Por otro lado, al resolver desigualdades lineales, determinamos el conjunto de valores posibles de las variables que satisfacen la desigualdad.

Para finalizar la clase te invitamos a contestar el siguiente examen:

Fuentes de información

• Miller, C. D. (2006). E_Book Matemática: Razonamiento y Aplicaciones (pp. 267-333). Pearson HispanoAmerica Contenido. https://bookshelf.vitalsource.com/books/9789702607526
• Matemáticas Simplificadas.pdf. (s. f.). Google Docs. https://drive.google.com/file/d/0B8uuoDP4HDHOTVhlVHh2RTVyZzg/edit?resourcekey=0-CkxNEsahz1LnkVQKRSdWcQ
• Figueroa, M. (2010). Aritmética y álgebra (pp. 89-114). Firmas Press. https://elibro-net.ugto.idm.oclc.org/es/ereader/ugto/36338?page=1