Operaciones de números reales
Introducción
Bienvenido a este curso de álgebra I, el cual será tu introducción a la disciplina matemática en el Nivel Medio Superior. En esta sesión revisaremos conceptos fundamentales para nuestra UDA, empezando por conceptos aritméticos que iremos relacionando con álgebra.
Empezaremos por revisar la clasificación de los números reales y sus subconjuntos, números naturales, números enteros, números racionales e irracionales, entre otros, así como sus propiedades que nos permitirán realizar las operaciones tanto aritméticas cómo algebraicas.
Por último, revisaremos los algoritmos generales de las operaciones con números racionales, es decir con fracciones. Repasando estos conceptos aritméticos daremos comienzo a esta aventura de la rama matemática llamada álgebra.
Desarrollo del tema
Números reales
Un conjunto es la agrupación o colección de elementos que poseen las mismas características y por tanto se los puede agrupar en el mismo conjunto.
Por ejemplo, un conjunto de sillas, de libros, de animales, de letras, de números, etc. Un subconjunto es un conjunto que hace parte de un conjunto mayor.
En Aritmética el conjunto de números reales se conforma de subconjuntos de números: racionales e irracionales los cuales utilizas de forma directa o indirecta en la vida, dado que como su nombre lo indica, reflejan la realidad. La forma de representar esta clasificación es de acuerdo con el siguiente diagrama:
Números irracionales (Q’):
Son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no periódicas y no pueden hallarse dividiendo dos números enteros. Por ejemplo:
Números racionales (Q):
Son el resultado del cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica. Por ejemplo:
Los números racionales a su vez pueden clasificarse en:
Números naturales (N):
Reúne los números que usamos para contar (incluido cero) y el infinito, se consideran los números enteros y positivos.
Subconjuntos de números naturales:
{1, 2, 3, 4, 5 …, n, …} conjuntos de números naturales no nulos, es decir, sin cero.
{0, 2, 4, 6, 8 …, 2n, …} conjunto de números naturales pares.
{1, 3, 5, 7, 9 …, 2n + 1, …} conjunto de números naturales impares.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, …} conjunto de números naturales primos.
Números enteros (Z):
Reúne todos los elementos de los números naturales (N) con signo negativo.
Lo anterior puede resumirse en el siguiente cuadro:
Propiedades y los números reales
Las propiedades de los números reales son indispensables para identificar su orden, así como para poder hacer operaciones matemáticas. Para ello podemos revisar los siguientes axiomas:
Las operaciones fundamentales con los números naturales son la adición, sustracción, multiplicación y división. Sus reglas en cuanto a los signos se muestran a continuación.
Ejemplos:
- -5 – 3 = -8 Los dos números tienen signo negativo así que se suman y se coloca el signo negativo.
- + 9 + 4 = 13 Los dos números tienen signo positivo así que se suman y se coloca el signo positivo.
- 7 + 4 = -3 El número más grande no tomando en cuenta el signo es el 7, como tiene signo negativo el resultado es negativo.
- 10 – 8 = 2 El número más grande no tomando en cuenta el signo es el 10, como tiene signo positivo el resultado es positivo.
(7)(2) = 14
(9)(-5) = – 45
(-3)(4) = – 12
(-8)(-6) = 48
Las operaciones fundamentales con los números naturales son la adición, sustracción, multiplicación y división. Sus reglas en cuanto a los signos se muestran a continuación.
Una vez que ya recordamos las operaciones fundamentales de los números reales, revisaremos la descomposición de un número en sus factores primos, dado que será de uso común en procedimientos algebraicos.
La descomposición de un número en sus factores primos es su expresión como el producto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor posible, y así hasta que el último cociente sea 1, este procedimiento se conoce como factorizar completamente un número.
Máximo común divisor
El máximo común divisor (MCD) de un conjunto de números es el factor más grande que comparten todos los números. Es el mayor de los divisores en común. Por ejemplo: el 4 es el máximo común divisor de 16 y 20 porque es el mayor número que divide a ambos:
Para calcular el máximo común divisor:
- Se descomponen los números en factores primos.
- Se toman los factores comunes con menor exponente.
- Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el MCD.
Ejemplo:
Encuentra el MCD de 48, 36 y 60.
Se descomponen simultáneamente los factores primos:
4, 3 y 5 no tiene divisores primos en común, los números primos obtenidos se multiplican y el producto es el resultado.
El MCD de 48, 36 y 60 es: 12
Puedes revisar el tema también en el siguiente video:
Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo (mcm) de varias cantidades es el número más pequeño que es múltiplo de ellas. La forma más rápida de calcular el mínimo común múltiplo de dos números es:
- bulletDescomponemos los números en números primos.
- bulletEl mínimo común múltiplo es el producto de todas las potencias que aparecen en las descomposiciones.
Determinar el mcm de 28 y 42
El mcm de 28 y 42 es: 84
Puedes revisar el tema también en el siguiente link:
También puedes practicar con esta prueba:
Conclusión
En esta primera sesión encuadramos los conocimientos previos inmediatos para entrar de lleno en la materia de álgebra.
Identificamos que, el conjunto de los números reales (R) contiene a todos los números que están en la recta numérica. Esto incluye a los números naturales (N) o contables, a los números enteros positivos, y a los números enteros (Z). También incluye a los números racionales (Q), que son números que pueden escribirse como la razón entre dos números enteros, y los números irracionales (Q’), que no pueden escribirse como la razón entre dos enteros. Cuando comparamos dos números, el que tiene el valor mayor estará a la derecha del otro número en la recta numérica.
Así también revisamos las propiedades de los números Reales, Conmutativa, asociativa y distributiva, las cuales nos ayudaran a dar solución a las distintas operaciones tanto en aritmética como en álgebra. Una vez identificadas dichas propiedades revisamos dos procedimientos fundamentales del cálculo aritmético, al Máximo común divisor (mayor número entero que los divide sin dejar residuo) y mínimo común múltiplo (múltiplo más pequeño que esos números tienen en común).
Adelante, continuemos en este maravilloso mundo de las matemáticas.