Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Introducción
En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó 24 conejos en la naturaleza para su caza. Debido a que Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento demográfico descontrolado, como en el caso de los conejos silvestres de Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial.
A una ecuación cuya variable es un exponente se le llama ecuación exponencial, y a una ecuación que contiene expresiones logarítmicas de por lo menos una variable se le llama ecuación logarítmica.
Desarrollo del tema
Ecuación exponencial
En la función exponencial:
identifica que la variable «x» es el exponente, y que cuando se desconoce su valor se origina una ecuación exponencial. A continuación, analiza y asimila los ejemplos que muestran el procedimiento de resolver ecuaciones exponenciales. Por el momento, sólo se contemplan ecuaciones exponenciales cuya solución es por medio de potencias de igual base.
Utiliza potencias de igual base en la solución de las siguientes ecuaciones exponenciales:
Primer ejemplo:
Expresa 100 y 1000 en potencias de 10
Concluye que 100 = (10)2 y 1000 = (10)3
Sustituye 100 = (10)2 y 1000 = (10)3 en la ecuación:
Aplica propiedades de exponentes:
Como la ecuación tienen potencias de igual base, los exponentes deben ser iguales.
Por lo tanto: 6x – 2 = 3x + 3
Aplica la propiedad aditiva: 6x – 3x = 3 + 2
Reduce la propiedad aditiva: 6x – 3x = 3 + 2
Reduce términos semejantes: 3x = 5
Concluye que la solución es: x = 5/3
Segundo ejemplo:
Expresa 4, 8 y 0.5 en potencias de 2, esto es 4 = (2)2, 8 = (2)3 y 0.5 = (2)-1
Sustituye 4 = (2)2, 8 = (2)3 y 0.5 = (2)-1 en la ecuación:
Aplica propiedades de exponentes:
Aplica el producto de potencias de igual base:
Como la ecuación tienen potencias de igual base, los exponentes deben ser iguales.
Por lo tanto: 5x = -x + 1
Aplica la propiedad aditiva: 5x + x = 1
Reduce términos semejantes: 6x = 1
Concluye que la solución es: x = 1/6
Tercer ejemplo:
Utiliza factorización de un trinomio de la forma:
Factorización de: 102x = (10x)(10x)
Factorización de: -90 = (-10)(9)
Comprobación que: -10x = (-10)(10x) + (9)(10x)
Luego la factorización de la ecuación es: 102x – 10x – 90 = (10x – 10)(10x + 9) = 0
Iguala a cero los factores: (10x – 10)(10x + 9)
Primer factor igual a cero: 10x – 10 = 0
Aplica la propiedad aditiva: 10x = 10
Concluye que la solución es: x = 1
Segundo factor igual a cero: 10x + 9 = 0
Aplica la propiedad aditiva: 10x = -9
Concluye que no hay solución porque la potencia de 10x es positiva.
Cuarto ejemplo:
Expresa 4 en potencias de 2, esto es 4 = (2)2
Sustituye 4 = (2)2 en la ecuación 4x – 20(2)x + 64 = (22)x – 20(2)2 + 64 = 0
Aplica propiedades de exponentes: 22x – 20(2)x + 64 = 0
Utiliza factorización de un trinomio de la forma:
Factorización de: 22x = (2x)(2x)
Factorización de: 64 = (-16)(-4)
Comprobación que: -20(2x) = (-16)(2x) + (-4)(2x)
Luego la factorización de la ecuación es: 22x – 20(2x) + 64 = (2x – 16)(2x – 4) = 0
Iguala a cero los factores: (2x – 16)(2x – 4)
Primer factor igual a cero: 2x – 16 = 0
Aplica la propiedad aditiva: 2x = 16
Sustituye 16 = (2)4 en la ecuación: 2x = 24
Concluye que la solución es: x = 4
Segundo factor igual a cero: 2x – 4 = 0
Aplica la propiedad aditiva: 2x = 4
Sustituye 4 = (2)2 en la ecuación: 2x = 22
Concluye que la solución es: x = 2
La notación de la función logarítmica es
donde
La función logarítmica se define como la función inversa de la función exponencial, la siguiente propiedad evidencia la relación que hay entre ambas funciones:
Por lo que el logaritmo se define como el exponente al que se eleva una base para obtener una potencia dada.
Los siguientes ejemplos muestran la equivalencia entre potencias y logaritmos.
Utiliza la propiedad:
para que transformes las siguientes potencias en logaritmos:
Utiliza la propiedad:
para que transformes los siguientes logaritmos en potencias:
Utiliza la propiedad:
para que resuelvas las siguientes ecuaciones logarítmicas:
- Analiza y asimila la solución de la ecuación:
- Analiza y asimila la solución de la ecuación:
- Analiza y asimila la solución de la ecuación:
- Despeja el exponente “n” de la ecuación:
- Despeja el exponente de la ecuación:
A continuación, te invito a visualizar el siguiente video:
Logaritmo de base 10
El logaritmo de base 10, logaritmo común o logaritmo de Briggs es uno de los logaritmos de mayor uso.
Observa que son potencias de 10 y en el símbolo de logaritmo no se indica la base
Los siguientes ejemplos evidencian que:
- Expresa las potencias de 10 en logaritmos:
Comprueba lo anterior utilizando calculadora.
- Expresa en potencias de 10 los logaritmos:
Logaritmo de base e, logaritmo natural o logaritmo de Néper
Recuerda que en la clase 11 se definió este número como:
El logaritmo natural tiene por base el número e.
Observa que ahora son potencias de “e” y el símbolo de logaritmo es ln
Utiliza calculadora para que obtengas el valor de los siguientes logaritmos:
Ahora, utiliza que:
para que expreses los logaritmos anteriores en potencias:
Utiliza calculadora para que obtengas el valor de las siguientes potencias:
Ahora, utiliza que:
para que expreses las potencias de “e” en logaritmos:
Despeja el exponente “n” de la ecuación:
Propiedades de logaritmos
En la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas es de gran utilidad conocer las siguientes propiedades de logaritmos:
- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:
- El logaritmo de una división es la diferencia de los logaritmos del dividendo y divisor:
- El logaritmo de una potencia es el exponente por el logaritmo de la base:
A continuación, se tienen varios ejemplos de ecuaciones logarítmicas y exponenciales:
- Utiliza las propiedades de los logaritmos en las siguientes ecuaciones logarítmicas:
- Problema de aplicación de ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
A continuación, te invito a visualizar los siguientes videos:
- Resolver ecuaciones exponenciales con logaritmos: base 10.
- Ecuaciones exponenciales ejercicios 1 y 2.
- Logaritmos | Solución de ecuaciones | Ejemplo 3.
Conclusión
Las funciones logarítmicas son muy útiles cuando se trabaja con fenómenos que tienen un rango muy amplio de valores, porque te permiten mantener los valores que sí funcionan en un rango más pequeño. Las funciones exponenciales son útiles con fenómenos que cambian muy rápido o que crecen o decaen por un porcentaje en un tiempo en particular.
Las funciones logarítmicas y exponenciales pueden usarse para modelar situaciones del mundo real. Por ejemplo, podemos usar escalas logarítmicas para medir las intensidades de terremotos y para crear escala de decibeles del sonido y la escala de pH. La importancia de los logaritmos está en que, gracias a ellos, se facilita la resolución de cálculos muy complejos, lo que ha contribuido enormemente al avance de la ciencia.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 14, pp. 550 – 560.