Factorización empleando división sintética (raíces de polinomios)
Introducción
En esta sesión aprenderemos la combinación de la factorización por división sintética. La división sintética es un método para dividir polinomios por un binomio de la forma (x-a), donde «a» es un número. Este método puede ser utilizado para factorizar polinomios de grado mayor a 2 en factores de grado menor a 2, para ello haremos uso de reglas como “Ruffini” o “regla de “Descartes”, espero que recuerde que dicho algoritmo lo revisamos en la clase digital 4.
En la forma de solución, hay diversas metodologías para las expresiones dependiendo si reconocemos binomios, trinomios y polinomios.
En particular, la combinación de la factorización por división sintética y la factorización por métodos comunes de factorización puede ser una herramienta poderosa para resolver problemas de factorización.
Desarrollo del tema
Raíces de Polinomios
Ya sabemos que Factorizar es encontrar los factores que dieron lugar a la expresión dada, sin embargo cuando el grado del polinomio y la cantidad de términos del mismo no permiten la factorización directa, se requiere utilizar otros métodos.
Para un polinomio:
p(x) = anXn + an-1 xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0
Sus posibles raíces racionales están dadas por:
Donde “p” son todos los factores (positivos y negativos) del término constante a0 y “q” los factores (positivos y negativos) del término principal an. Es decir, para el polinomio en su forma general:
Ejemplo:
Ejemplo:
Para el polinomio 4x3 – 7x + 3 entonces los factores (positivos y negativos) para cada término son:
Obtenemos el polinomio: (4x2 + 4x – 3) que da lugar a la factorización:
(4x2 + 4x – 3)(x – 1)
Es decir el resultado de la factorización por el factor posible seleccionado como divisor. El polinomio encontrado ya es de la forma ax2 + bx + c, por lo que se tiene la opción de factorizar directamente con el algoritmo ya revisado del trinomio o volver a realizar la división sintética con alguno de los otros factores a considerar.
Evidentemente es más sencillo factorizar con los métodos ya revisados, por lo que la factorización completa quedaría:
(2x – 1)(2x + 3)(x – 1)
Por lo que los Factores propuestos fueron:
Qué son los factores que hacen cero el polinomio con la división sintética. Si observamos dichos productos pueden expresarse, también así:
Puedes revisar más ejemplos en:
Conclusión
La factorización por división sintética es una técnica matemática utilizada para factorizar polinomios de una forma eficiente y sistemática. Esta técnica es especialmente útil cuando se busca factorizar polinomios de grado mayor o cuando se busca encontrar las raíces de un polinomio.
Las raíces de un polinomio son los valores para los cuales el polinomio se anula. Al utilizar la división sintética, podemos evaluar rápidamente si un valor dado es una raíz del polinomio y, si es el caso, factorizar el polinomio para encontrar las raíces restantes. Su utilidad radica en su eficiencia y capacidad para resolver problemas algebraicos de manera sistemática.
Una vez conocidos todos los métodos más comunes de factorización, podemos hacer uso de ellos en una misma expresión. Cuando factorizamos es importante siempre expresar con la mínima potencia en nuestro término, es decir, que en ocasiones una sola factorización no es suficiente, es necesario seguir factorizando la expresión que ya fue factorizada, y así sucesivamente hasta llegar a los factores que dieron lugar a la expresión original.
A manera de conclusión podemos decir que la factorización es mucho más que un tema más de álgebra, es la base medular de muchos elementos subsecuentes como la geometría analítica y el cálculo. Por sí misma, la factorización trasciende más allá del aula y llega al campo laboral y empresarial de diversas formas, descuentos, máximos, impuestos, inventarios.