Factorización: Trinomio cuadrado perfecto, Trinomio cuadrados no perfecto, Polinomio cubo perfecto
Introducción
Bienvenido a esta sesión número 9, en esta sesión seguiremos revisando los métodos de Factorización, ahora abordaremos la factorización de trinomios. Así como en la sesión de Productos Notables revisamos que de acuerdo con el tipo de producto se obtenían diferentes estructuras de resultado, teniendo la posibilidad de encontrar tres tipos de trinomios, de los cuales cada uno tendrá sus características que nos permitirán poder diferenciar los métodos de factorización a utilizar.
En esta sesión estudiaremos la factorización de trinomios que tienen la forma: X2 + bx + c como trinomio cuadrado perfecto o también conocido como T.C.P. así como también esta misma forma x2 + bx + c pero no como T.C.P, sino como trinomio que emana de un binomio de factores comunes. Y por último abordaremos la forma: ax2 + bx + c, cuya diferencia es el coeficiente numérico de la variable cuadrada.
Otro de los métodos de factorización que analizamos como el resultado de un producto notable es cuando hablamos de un polinomio cubo perfecto, el cual consta de 4 términos, dos de los cuales son cubos y dos son triples, y como recordarán es el resultado de un binomio elevado al cubo, por lo cual identificamos la regla que nos lleve al proceso contrario al producto notable.
Habiendo dado esta introducción, comencemos.
Desarrollo del tema
Trinomios cuadros perfectos TCP
Para que una expresión algebraica se considere como un trinomio cuadrado perfecto debe de tener raíz exacta, al menos dos de sus términos, y el término restante es igual al doble producto de esos dos términos.
Debe cumplir con las siguientes características o reglas:
- Lo podemos ordenar en orden decreciente ( según las potencias de las variables).
- El trinomio debe tener dos términos cuadrados perfectos.
- Al estar ordenados, el segundo término del trinomio está representado por el doble del producto de las raíces de los otros dos términos.
- El primer y el último término del trinomio deberán tener el mismo signo.
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto; debemos seguir:
- Acomodamos los términos en orden ascendente (preferentemente).
- Calculamos la raíz del primer término que ésta elevado al cuadrado en el trinomio y ese va a ser el primer término de nuestro binomio solución.
- Calculamos la raíz del segundo término que ésta elevado al cuadrado en el trinomio y ese va a ser el segundo término de nuestro binomio solución y lo escribiremos después del signo.
- Colocamos ambos términos encontrados dentro de un paréntesis.
- Los términos del binomio solución estarán separados por el mismo signo que tiene el segundo término del trinomio.
- Elevamos todo lo obtenido al cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Trinomios 𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄, que NO son TCP
Primero debemos identificar que el trinomio planteado no es un TCP, ya sea porque dos términos son negativos, porque no posee dos términos cuadrados o porque el término medio no es doble. Una vez que descartamos que es TCP, podemos identificar si posee las siguientes condiciones:
- En el primer término el coeficiente de la variable va a ser el número uno (1) y es un término que estará elevado al cuadrado.
- El segundo término será un número cualquiera multiplicado por una variable con grado uno (1)
- El tercer término será un término constante, es decir un término independiente.
Para la factorización de un trinomio de esta forma aplicamos lo siguiente:
Ejemplo 1:
x2 – 3x – 10
La expresión factorizada de este tipo de trinomios es un producto de dos binomios con un término común, el cual se obtiene al extraer la raíz cuadrada del término cuadrático.
√x2 = x
Los segundos términos de ambos binomios son dos números cuyo producto resulta igual al término independiente y cuya suma es igual al coeficiente del término de primer grado, esto es:
(+5)(-2) = -10
(+5) + (-2) = +3
Por lo tanto, la factorización completa de trinomio en este caso resulta:
x2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2)
Cabe aclarar que los dos binomios pueden tener distinto orden. Es decir, también se puede escribir:
x2 + 3x – 10 = (x – 2)(x + 5)
Ejemplos 2:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Trinomios 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄
Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características:
- El coeficiente que acompaña el primer término es diferente de 1.
- El segundo término tiene la misma variable del primer término, pero con el exponente a la mitad de la del primer término.
- El tercer término es un término independiente.
Para factorizar este tipo de trinomios se pueden utilizar dos métodos. Primero revisaremos el método de la multiplicación en cruz.
Ahora resolveremos el mismo tipo de polinomio, pero por otro método:
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Polinomios cubos perfectos
Un polinomio cubo perfecto puede tener la siguiente estructura:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 o a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Las características que debe cumplir el polinomio son:
- Debe poseer 4 términos.
- Si acomodamos el polinomio en orden descendente, el primer y último término deben ser cubos.
- Si acomodamos el polinomio en orden descendente, el segundo y tercer términos deben ser triples y poseer las variables del primer y último término.
- Los signos pueden ser todos positivos, todos negativos o alternados.
Para factorizar los cubos perfectos es necesario encontrar sus factores, recordando el cubo de la suma de un binomio y el cubo de la diferencia de un binomio, se tiene que:
De esta forma general podemos deducir la regla a seguir:
- Extraer la raíz cúbica del primer y cuarto término, recuerda que, para obtener la raíz cúbica de una potencia, dividimos por tres.
- Colocamos ambas raíces como un binomio con el signo del segundo término.
- Finamente elevamos el polinomio al cubo.
Podemos aplicar la regla de binomio al cubo para comprobar. Puedes practicar en el siguiente link:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Conclusión
Cuando en el trinomio identificamos que se trata de un TCP, será el caso más fácil de factorización pues este proviene de un binomio al cuadrado, lo que debemos obtener como factorización, los pasos que debemos seguir serían los siguientes:
- Para factorizar solo se calculan las raíces cuadradas del primer y tercer término
- Luego se expresan los dos términos resultantes separados por el signo de la operación,
- Y se eleva todo el polinomio al cuadrado.
Si los trinomios no son trinomios cuadrados perfectos y poseen la estructura: x^2+bx+c, entonces se factoriza como un binomio con término común, con los siguientes pasos:
- El trinomio se debe descomponer en un producto de dos binomios, donde el primer término de cada binomio va a ser la raíz cuadrada del primer término.
- Debemos buscar dos números, que al ser sumados o restados nos den como resultado el coeficiente del segundo término y que al multiplicar esos números obtengamos el valor del tercer término.
- Si el tercer término del trinomio es positivo significa que se deben buscar dos números, cuyo resultado de su suma sea el segundo término y de la multiplicación de ellos obtengamos como resultados el tercer término.
- Si el tercer término del trinomio es negativo significa que se buscan dos números, cuyo resultado de su diferencia sea el segundo término y de la multiplicación de ellos obtengamos como resultados el tercer término.
Para los trinomios de la forma 〖ax〗^2+bx+c, revisamos dos métodos el de la tabla o multiplicación cruzada y el de factorización por agrupación, para lo cual se deben seguir las reglas:
- Encontramos dos números enteros (r y s) que sumados den igual a (b) y que multiplicados sean igual a (ac).
- Reescribimos el trinomio de la siguiente manera: 〖ax〗^2+rx+sx+c
- Agrupamos.
Por otra parte, cuando tenemos que factorizar un polinomio de cuatro términos (cuadrinomio: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3), podemos sospechar que puede ser el resultado de algún producto notable. Entonces, buscamos que nuestro polinomio concuerde con la forma que tiene el resultado de algunos de los productos revisados y cuyo número de términos sea cuatro. Analizando los resultados concluimos que posee dos términos al cubo, y dos triples productos.
Por eso buscamos obtener las raíces de los cubos y probamos que dichas raíces sean los triples productos con las bases de estos cubos. Si los triples productos dan correctamente, estamos ante un polinomio que es resultado de usar un binomio al cubo, y entonces podemos decir que es igual a la suma de dos términos, elevada al cubo: (a + b)3.
Práctica en el siguiente link: