Factor común y factorización por agrupación, Diferencia de cuadrados perfectos, Diferencia y suma de cubos perfectos
Introducción
Bienvenido (a) a esta clase donde abordamos el tema de la factorización.
La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificar las expresiones algebraicas. Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad. Factorizar una expresión algebraica (o suma de términos algebraicos), es el procedimiento que permite escribir como multiplicación dicha expresión.
Los factores o divisores de una expresión algebraica son los términos, ya sean números y/o letras, que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.
Primero debes saber que, no todos los polinomios se pueden factorizar, ya que, al igual que en los números primos que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que también solo son divisibles por ellas mismas y por 1. El objetivo de toda Factorización es expresar el polinomio en un producto de factores primos
La factorización de polinomios tiene relación con la factorización de números enteros, ya que ambas consisten en lo mismo, que es descomponer los datos como una multiplicación.
En esta y las siguientes dos sesiones, estaremos revisando las distintas estrategias de factorización, las cuales en su mayoría resultaron en los ya estudiado Productos Notables, de ahí la importancia de su estudio en las sesiones anteriores.
Entendido esto, estamos listos para empezar.
Desarrollo del tema
Factor común
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
En este proceso se transforma una expresión algebraica, en otra expresión equivalente, aplicando propiedades distributivas. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. Esto puede ser un número, un monomio, o bien un polinomio.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.
Para sacar factor común de polinomios, debemos tener en cuenta lo que significa factor común:
Factor: Está multiplicando al resto del término Común: Se repite en todos los términos
Y, por tanto, para poder sacar factor común, el factor a extraer debe cumplir obligatoriamente estas dos premisas. Vamos a ver con un ejemplo muy sencillo cómo sacar factor común:
En este caso es la “x”, ya que cumple las dos condiciones, multiplica al resto del término y está repetida en los dos términos.
Lo que hay que hacer ahora es dividir el polinomio entre el factor común.
Cada uno de estos resultados quedan entre paréntesis (con su signo correspondiente), multiplicados por el factor común.
Si el ejercicio tuviera en los términos del polinomio más de un coeficiente, el factor común implicara obtener el Máximo común divisor. Como se da en el siguiente ejemplo:
20x3y2 + 10x2y3 – 30x2y2
Se debe obtener el máximo común divisor de los coeficientes 20, 10 y 30, siendo este el número 10. De la parte literal los factores comunes son x, y, que tomaremos con su menor exponente, esto es x2 e y2.
Por lo tanto, el factor común será 10x2y2, así pues, dividimos cada momio por este factor común:
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Factor común por agrupación
Existen polinomios cuyos términos no contienen un mismo factor común, como en los siguientes casos:
ax + ay + 4a + 4y
Para factorizar este polinomio no se puede aplicar el procedimiento de factorización por factor común a toda la expresión, ya que no todos los términos tienen el mismo factor común. Para lograr su factorización debemos primero agrupar términos que tengan el mismo factor común y así poder factorizar el polinomio por el método anterior.
La agrupación de términos se puede hacer por más de una forma, con tal que los términos agrupados tengan algún factor común y siempre que las cantidades quedadas dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo sean exactamente iguales.
La característica de este tipo de factorización es que la expresión debe poseer un número par de términos y por lo menos ser de cuatro términos, con la finalidad de formar parejas o triadas.
Factorizando por factor común cada pareja:
Ahora los factores iguales, se convertirán en el factor común de ambos términos:
Ejemplo 2:
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
En la factorización de polinomios, nos podemos encontrar con diversos métodos, como lo vimos en la sesión anterior; uno de esos métodos es la factorización de la diferencia de cuadrados. En esta sesión estudiaremos las definiciones acerca de ese tipo de factorización, sus características, fórmulas y las distintas maneras de su aplicación.
Factorización Diferencia de Cuadrados
Para factorizar una diferencia de cuadrados es necesario saber identificarlos, esta “expresión” solo tiene dos términos, es decir, es un binomio. Ambos términos tienen raíces cuadradas exactas. En cuanto a los signos, un término es positivo y el otro es negativo, siempre, o explicado de otra forma la operación que se realiza es una resta.
De estas características viene su nombre diferencia de cuadrados, diferencia hace alusión a una resta y cuadrados indica que los términos están elevados al cuadrado. Recordemos que esta estructura es el resultado de un Producto Notable por lo que para su factorización debemos obtener el producto raíz, binomios conjugados.
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
Para resolver o factorizar una diferencia de cuadrados:
1. Se calcula la raíz de ambos términos.
2. Se forma un producto de la suma por la diferencia de las cantidades encontradas, teniendo presente que regularmente el segundo término del binomio es el que contiene el signo de menos (-).
También puede calcularse sustituyendo directamente en la fórmula.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Otro tipo de factorización que abordaremos en esta sesión es la suma y diferencia de cubos (dos cantidades elevadas al cubo) es convertir una expresión algebraica de dos términos, en la multiplicación de un binomio por un trinomio.
Factorización Diferencia y Suma de Cubos
La suma de dos cubos se puede descomponer en un producto de dos factores, donde el primero es un binomio igual a la suma de las bases de los cubos (las raíces de los términos del binomio dado); y el segundo es un trinomio igual a la suma de los cuadrados de las bases (suma del cuadrado de las raíces), menos el producto de las dos bases (producto de las raíces).
La fórmula para factorizar una suma de cubos es:
La fórmula para factorizar una diferencia de cubos es:
Para factorizar una suma o diferencia de cubos la regla es:
1. La suma de las raíces cúbicas de los dos sumandos,
2. Por una suma/resta de tres sumandos que son: el cuadrado de la raíz cúbica de uno de ellos menos/más la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos y más el cuadrado de la raíz cúbica del otro sumando.
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Conclusión
En los polinomios existen diversos métodos para efectuar el proceso de factorización, uno de ellos es la factorización por factor común. Para efectuar una factorización por factor común debemos seguir lo siguiente:
- Encontramos el factor que es común en todos los términos del polinomio, ya sea que se están sumando o restando, el factor común puede ser número o letra (en los coeficientes o números se toma el mayor divisor de todos los términos, y en la literales o variables se toma la que contiene la menor potencia).
- El factor común será uno de los factores (coloca dentro de paréntesis).
- Dividimos cada término del polinomio por el factor común, este resultado será nuestro otro factor y lo ubicamos a un lado del factor común pero dentro de paréntesis.
Una vez comprendida la factorización por factor común, podemos factorizar por agrupación. El factor común por agrupación de términos es un procedimiento algebraico que permite escribir algunas expresiones algebraicas en forma de factores, cuando no todos los términos poseen algo en común. Para lograr este objetivo, primero hay que agrupar convenientemente la expresión y observar que cada grupo así formado tenga, en efecto, un factor común. Recuerda que para aplicar este tipo de factorización deberemos tener un número par de términos en la expresión algebraica, es decir, 4 6 u 8 términos, para poder formar, ya sea parejas o triadas.
La factorización de una diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados; es decir uno tendrá la operación suma y el otro tendrá la operación resta, y sus términos serán las raíces de los que están elevados al cuadrado en el binomio principal.
Para saber que debemos aplicar este tipo de factorización, el polinomio, debe tener: por dos términos, deben estar restando sin importar el orden entre ellos, es decir, lo importante es que debe haber un término con signo positivo y otro término con signo negativo que los dos términos que integran el polinomio deben ser cuadrados.
En esta sesión también abordamos la Diferencia y suma de cubos, que son dos términos, ambos deben de estar elevados a la tercera potencia o elevados al cubo, ya sea que se están sumando o restando.
Para factorizar una diferencia de cubos se hace de la siguiente forma:
Primero se saca la raíz cúbica de ambos miembros con el mismo signo de la operación que se realiza, ambos miembros quedan como un solo factor, encerrados en un paréntesis, después en el siguiente factor o paréntesis se coloca, el primer término del paréntesis anterior elevado al cuadrado, la operación contraria, por el producto de los dos términos del paréntesis anterior, y después se coloca sumando el segundo término del primer paréntesis elevado al cuadrado.
Aplicar la técnica correctamente requiere algo de práctica, pero en poco tiempo se logra dominar.