Ecuaciones de primer grado
Introducción
Te doy la más cordial bienvenida a esta clase en la que estaremos analizando las ecuaciones de primer grado. El uso de las ecuaciones se remonta al tiempo de los egipcios, aunque no se utiliza ese nombre; pero no fue hasta después de la Edad Media que tuvieron un mayor auge en las matemáticas. Las ecuaciones se clasifican en: ecuaciones algebraicas, que se dividen en ecuaciones de primero, segundo y tercer grado, y diofánticas y racionales; ecuaciones trascendentes, son variables en donde intervienen funciones de tipo trigonométrica, exponenciales, etc.; ecuaciones diferenciales, que son las derivadas parciales y ordinarias. Y, por último, se encuentran las ecuaciones integrales y las funcionales. Una ecuación matemática se puede definir como la igualdad establecida entre dos expresiones, en la cual puede haber una o más incógnitas, de igual o distinto grado.
Como preámbulo, deberemos recordar que las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=). Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios. A partir de esta información podemos retomar las propiedades de los números reales y dar solución a las ecuaciones de primer grado, las cuales son a las que daremos estudio en específico.
Resolver una ecuación es encontrar un valor numérico que permita cumplir la igualdad y cuando esta definición se suma con la definición de valor absoluto, se tendrán entonces dos valores que cumplan con ambas definiciones, sin embargo las ecuaciones pueden presentarse con distintas estructuras, con signos de agrupación e incluso con fracciones.
Así también abordaremos las ecuaciones lineales con literales, que son ecuaciones lineales con una incógnita, que vienen acompañadas de coeficientes literales (letras). Estas letras se tratan al igual que se haría con los números. Por lo que se sigue el mismo procedimiento que en las ecuaciones lineales numéricas, hay que despejar la variable buscada, es decir dejarla en un solo miembro.
También revisaremos el despeje de fórmulas. ya que es una herramienta muy utilizada en matemáticas.
Despejar una variable significa que se debe dejar la variable a un lado de la igualdad, y todo lo demás debe estar del otro lado de la igualdad. Cuando se quiere despejar una variable lo primero que se debe hacer es llevar al otro lado de la igualdad todo lo que no sea dicha variable.
Por último revisaremos la aplicación de las ecuaciones de primer grado en problemas, ya sea de edades, numéricos o de longitudes.
Para dar solución a problemas de planteo es importante leer el problema el número de veces necesario, 5, 6 o 7 veces, hasta entender cuales son los datos y cuales las incógnitas. Escribir el lenguaje coloquial en lenguaje matemático para plantear la ecuación a resolver y por último utilizar todo los revisado hasta ahora sobre ecuaciones lineales para dar paso a la solución del problema.
Bien, ahora a sumergirnos en las ecuaciones lineales, ¡Adelante!
Desarrollo del tema
Ecuaciones lineales con una incógnita
La solución de una ecuación de primer grado también se conoce como raíz de esta. Es el valor de “x” que convierte la expresión original en una igualdad. Por ejemplo, en:
5x = 8x – 15
Si sustituimos “x = 5” en esta ecuación, se obtiene:
(5)(5) = (8)(5) – 15
25 = 40 – 15
25 = 25
Como las ecuaciones lineales de primer grado vienen en muchas formas, que a veces no son evidentes, hay una serie de reglas generales que comprenden varias manipulaciones algebraicas, con la finalidad de encontrar el valor de la incógnita. Para eso debemos recordar las propiedades de la igualdad.
| Propiedad | Proposición | Ejemplo |
|---|---|---|
| Propiedad reflexiva: Todo número es igual a sí mismo. | a = a | 5 = 5 |
| Propiedad de simetría: Si un número es igual a otro, este es igual al primero. | Si a = b, b = a | x = 4, 4 = x |
| Propiedad transitiva: Si un número es igual a un segundo número, y este es igual a un tercero, el primero y el tercero son iguales. | Ai a = b y b = ca = c | |
| Propiedad de reemplazo: Si un número es igual a otro, en cualquier expresión en que se requiera el primero, puede reemplazarse por el segundo número. | Si a = b, a puede reemplazar ab | Si x = 4, 2(x) = 3 = 2 (4) + 3 |
| Propiedad aditiva de la igualdad: Si sumamos el mismo número a ambos lados de la igualdad, la igualdad permanece. | Si a = b, c = b b = c | Si x = 4, x + 2 = 4 + 2 |
| Propiedad multiplicativa de la igualdad: Si multiplicamos el mismo número en ambos lados de la igualdad, la igualdad permanece. | Si a = b, ac = bc | Si x = 4, x x2 = 4 x 2 |
Existen dos alternativas para dar solución a este tipo de ecuaciones, “método de la balanza” o el «método de la trasposición de operaciones”.
Método de balanza
Una ecuación puede compararse con una balanza. Para mantener equilibrio es necesario tener el mismo peso en ambos lados. Si se aumenta el peso en el platillo de la izquierda, la balanza se inclinará hacia la izquierda, por lo tanto, para mantenerla equilibrada será necesario aumentar a la derecha la misma cantidad de masa.
Si, por el contrario, el peso disminuye, también habrá que disminuir el mismo peso en el otro platillo de la balanza.
Este sistema aplicado a una ecuación indica que si se agrega (suma) un número a la derecha, también es necesario sumar el mismo número a la izquierda para mantener la igualdad y si se resta, debe hacerse lo mismo a ambos lados. Lo mismo ocurre al multiplicar o dividir.
Esto es propiamente aplicar las propiedades de la igualdad.
Cuando se suma o resta la misma cantidad en ambos miembros de una ecuación, la igualdad permanece.
28 + x = 13
Si queremos despejar la “x” en esta ecuación, es decir, dejar sola la variable en un solo miembro.
Se suma a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita.
28 + x –𝟐𝟖 = 13 –𝟐𝟖
Simplificando: x + 0 = –15
x = –15
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Método de trasposición
Para utilizar el método de trasposición de operaciones vamos a agrupar los números a un lado del símbolo “=” y todos los términos que tengan la incógnita y en el otro todos los términos que no la tienen.
Para hacer esta transposición los signos que van delante de cada número cambian. Así, el que está sumando en un lado “pasa” al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en un lado “pasa” al otro dividiendo.
4x + 𝟏= 𝟐𝒙 + 7
El 1 que este sumando en el primer miembro “pasa” restando al segundo miembro, y el “2x” que esta sumando en el primer miembro “pasa” restando al segundo miembro.
4x − 𝟐𝒙 = 7 − 𝟏
Ahora se resuelve de forma separada las operaciones de cada miembro de la ecuación. Es decir, para resolver la ecuación de primer grado deber formular las operaciones hasta dejar un número a cada lado del igual.
4x − 2x = 7 – 1
2x = 6
Ahora el “2” que esta multiplicando a la “x” en el primer miembro “pasa” dividiendo al 6 que esta en el segundo miembro. Y con esto dejar en un solo miembro a la variable.
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Ecuaciones con signos de agrupación
Resolver ecuaciones con signos de agrupación no requiere una tarea difícil. Par ello podemos revisar los siguientes pasos:
- 11Se suprimen los signos de agrupación
- 22Se transponen los términos con incógnitas y los términos con valores conocidos
- 33Se reducen los términos semejantes
- 44Se simplifica el resultado para encontrar la Solución
2 – (3 – 2(x + 1)) = 3x + 2(x – (3 + 2x))
Primero eliminaremos los paréntesis de adentro hacia afuera. Haremos ambas simplificaciones al mismo tiempo, tanto del primer miembro como del segundo. Este paréntesis tiene un signo negativo delante, por lo que cambiamos el signo a sus sumandos. También observamos que tiene un coeficiente el dos, por lo que habrá que tomarlo en cuenta también.
Ahora quitaremos el segundo paréntesis de ambos miembros, considerando signos y coeficientes.
Simplificamos términos semejantes.
𝟏 + 𝟐𝒙 = 𝒙 − 𝟔
“Pasamos” las “x” a la izquierda, los números a la derecha y simplificamos:
Puedes consultar el siguiente video para ver más ejemplos:
Ecuaciones con literales
Una ecuación literal es aquella en la que una o más de las cantidades conocidas se representan mediante el uso de letras. Por lo general, dichas cantidades conocidas se representan con las primeras letras del alfabeto a, b, c, y las incógnitas con las letras finales x, y, z.
Ejemplo:
a + bx = dy
En este ejemplo las letras a, b, d, son cantidades conocidas, mientras que «x” e “y«, representan las incógnitas de la ecuación. Para resolver estas ecuaciones se aplican las mismas reglas que se utilizan en la resolución de ecuaciones numéricas:
ax – ad = bd – bx
Ponemos la variable en un solo miembro:
ax + bx = bd + ad
Factorizamos la variable por factor común:
x (a +b) = (b + a) d
El binomio que multiplica la variable, que está multiplicando, “pasa” dividiendo al segundo miembro:
Se simplifica la expresión resultante y se obtiene el resultado en función de otra variable, que fungía como constante:
x = d
Ejemplo:
Identificamos el m.c.m: (ab) y lo multiplicamos por cada miembro de la ecuación:
Ponemos las “x” en un solo miembro:
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Despeje de fórmula de primer orden
Cuando se tiene una fórmula, primero se identifica la variable. Luego todos los sumandos (términos que se suman o se restan) se pasan al otro lado de la igualdad cambiando el signo de cada sumando.
Después de pasar todos los sumandos al lado contrario de la igualdad, se observa si hay algún factor multiplicando a la variable.
En caso de ser así, este factor se debe pasar al otro lado de la igualdad dividiendo toda la expresión de la derecha y manteniendo el signo.
Si el factor está dividiendo a la variable, entonces este se debe pasar multiplicando a toda la expresión de la derecha manteniendo el signo.
Recuerda que cuando estemos despejando una variable, es recomendable empezar “quitando lo que estorbe” a esa variable, empezando por la operación más “alejada”, además de que cada término solo puede “pasar” al otro lado con una operación contraria a la vez. Despejar q2 de la ley de Coulomb:
Primero identificamos las diversas operaciones, como multiplicación, división y potencia. ¿Cómo iniciamos?
Si multiplicamos toda la ecuación por r2 vamos a poder “eliminarla” del denominador, o también dicho “esta multiplicando, pasa dividiendo”:
r2 . F = Kq1 ª q2
Kq1 están multiplicándose, entonces pasarán a dividir al otro miembro:
Si, queremos que la variable quede, como tradicionalmente es tamos acostumbrados, en el primer miembro, solo invertimos la ecuación:
Despeje a la variable 𝒕 de la siguiente fórmula:
Primero identificamos que en la expresión se presentan dos “t”, es decir, la variable a despejar aparece en dos términos de la expresión, por lo que, primero multiplicamos en “cruz” la ecuación para dejarla sin denominadores.
(2t)(k−2)=(4t−3)(8)
Realizamos los productos para poder trabajar en términos de “t”:
2tk − 4t = 32t −2 4
Ponemos las “t” en solo miembro:
2tk − 4t − 32t = −24
Simplificamos los términos de “t”:
2tk − 36t = −24
Como no podemos reducir términos semejantes, factorizamos “t” como factor común:
2t(k − 18) = −24
2(k−18) están multiplicando a “t” por lo que los “pasamos” dividiendo al segundo miembro:
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Ejercicios prácticos contextualizados
Una vez que hemos visto cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado, vamos a ver cómo se aplica a problemas de la vida real.
Para resolver este tipo de problemas, no tenemos en realidad un algoritmo estricto a seguir, solo se pueden sugerir algunos pasos para poder abordar los distintos tipos de problemas, como los siguientes:
1. Leer y comprender el enunciado.
2. Designar la incógnita (regularmente).
3. Plantear la ecuación (traducir el enunciado al lenguaje matemático).
4. Resolver la ecuación.
5. Interpretación y justificación de los resultados.
Ejemplo 1.
El padre de Ana tiene 5 años menos que su madre y la mitad de la edad de la madre es 23. ¿Qué edad tiene el padre de Ana?
x = edad de la madre de Ana
La mitad de la edad de la madre es 23, por tanto,
La edad de la madre es:
x = 23 · 2 = 46
El padre de Ana tiene 5 años menos que su madre, es decir, el padre tiene 46 − 5 = 41 años.
Ejemplo 2:
Tenemos tres peceras y 56 peces. Los tamaños de las peceras son pequeño, mediano y grande, siendo la pequeña la mitad de la mediana y la grande el doble. Como no tenemos ninguna preferencia en cuanto al reparto de los peces, decidimos que en cada una de ellas haya una cantidad de peces proporcional al tamaño de cada pecera. ¿Cuántos peces pondremos en cada pecera?
Puedes consultar los siguientes videos para ver más ejemplos:
Conclusión
En esta sesión revisamos lo que es la resolución de ecuaciones de primer grado propiamente dicha. Una ecuación de primer grado es una igualdad algebraica que se cumple solamente para determinados valores de las variables o incógnitas.
Resolvimos ecuaciones de primer grado utilizando dos estrategias, balanza y trasposición.
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor que debe tomar la incógnita para que se cumpla la igualdad.
Podemos comprobar si la solución encontrada es correcta sustituyendo la incógnita por la solución.
Como regla general, una ecuación de primer grado tiene una única solución.
Llamamos transposición de términos a una técnica que nos permite poder solucionar ecuaciones de forma simple. La transposición de términos nos permite agrupar en un miembro todos los términos con la variable, y en otro los términos que son independientes.
Para simplificar este proceso podemos hacer que un término que figura en un miembro aparezca de forma inversa al otro, o sea, si se está sumando en un miembro, en el otro se restará, y si se está restando aparecerá sumando.
O sea, en que en la transposición de la suma el número del primer término que está sumando lo llevaremos al segundo término restando, luego restaremos ambos números en el segundo término, dando así la solución y viceversa en el caso de la transposición de una diferencia.
Si se está multiplicando en un miembro, en el otro se aparecerá dividiendo, y si se está dividiendo en el otro se multiplicará o sea que en la transposición de un producto el número del primer término es decir el que está multiplicando lo llevamos al segundo término dividiendo, luego realizamos el cociente, obteniendo la solución, lo mismo pasa en la transposición de un cociente, pero de forma inversa.
Otra estrategia que utilizamos en la de pensar en una ecuación como si fuera una balanza en equilibrio. El signo de igual (=) es lo que nos indica que ambos miembros de la ecuación «pesan» lo mismo. Cada vez que realizamos una operación en uno de sus miembros (un platillo de nuestra balanza) debemos hacer lo mismo en el otro para que el equilibrio con que iniciamos nuestra ecuación se mantenga, o sea, que el signo de igual que conecta ambos miembros siga siendo válido.
Cualquiera de las dos estrategias que prefieras utilizaras llevaran al mismo resultado.
Al final de la sesión identificamos que una ecuación con operaciones diversas o con signos de agrupación, siempre se reducirá a una ecuación sencilla, en donde siempre buscamos tener la incógnita en un solo miembros, ya sea el primero o el segundo, para poder identificar el valor de la variable que satisface como verdadera a la ecuación o que también se conoce como encontrar la raíz de la ecuación.