Método de factores para la resolución de determinantes
Introducción
¡Hola!
¡Qué gusto saber de ti! Sigue siendo un placer contar con tu asistencia en este curso, espero que tu ánimo no decaiga pues estás avanzando con pasos seguros en él, por lo tanto, te invito a la clase diez titulada Método de factores para la resolución de determinantes del curso Álgebra Lineal.
En esta clase aprenderemos sobre el cálculo de determinantes de matrices de tamaño 4 x 4 (cuatro renglones por cuatro columnas) o superiores.
Para esta sesión se observará que para obtener la determinante es necesario contar con matrices cuadradas, es decir, aquellas en las que su número de renglones equivale a su número de columnas.
Aprenderemos aquí que el procedimiento para obtener determinantes para matrices de tamaño 4 x 4 o mayores se requiere aplicar un Método denominado de factores, que consiste en aplicar adecuadamente la fórmula para obtener los factores de un renglón o una columna o una matriz y sumar sus resultados.
Espero que la sesión sea de tu agrado y te invito a continuar con tu mismo ánimo.
¡Éxito!
Desarrollo del tema
- Para calcular la determinante de una matriz de 4×4 o mayor se necesita usar cualquiera de las siguientes fórmulas:
Ejemplo:
Paso 1) Para calcular la determinante de una matriz 4 x 4 como la mostrada, necesitamos seleccionar un renglón o una columna.
Paso 2) Multiplicamos el primer componente por su cofactor.
- Multiplicamos cada componente por su cofactor:
- La componente seleccionada es la a41 y vale cero.
- El cofactor es la determinante de la menor multiplicada por (-1)i+j
- La menor (Mij) de la componente a41 es la matriz resultante al eliminar los demás componentes de su misma columna y renglón:
- Y su determinante es: I Mij I = 0.
- Entonces el componente a41 multiplicado por su cofactor es:
(0)*(0) = 0
Paso 3) Repetimos el paso 2 para cada componente del renglón o columna seleccionado en el paso 1:
- Se resumen los resultados en la siguiente tabla:
Paso 4) Sumamos todos los valores de los componentes multiplicados por sus cofactores:
(0) + (0) + (0) + (0) = 0
NOTA: En este ejemplo, el sistema de ecuaciones es o indeterminado o inconsistente, porque el resultado fue cero. Sin embargo, no necesariamente aplican los mismos valores para otras matrices.
Conclusión
En resumen, el Método de Factores consiste en seleccionar un renglón o una columna de una matriz y como su nombre lo señala, obtener los factores de sus componentes para sumarlos.
Observando las ecuaciones veremos que la letra «a» minúscula se refiere a la componente analizada para cada factor, la letra «i» es el número que corresponde a su renglón, la letra «j» corresponde a su ubicación de columna.
Hemos visto el concepto de la menor Mij, que no es otra cosa más que la eliminación para una componente del resto de elementos de su mismo renglón y de su misma columna, obteniendo nuevamente una matriz cuadrada. A la multiplicación (-1)i+j por la determinante de la menor, se le llama cofactor que se multiplica por la componente analizada aij para calcular el factor.
Todos los factores obtenidos deben sumarse al final.
Hemos concluido la clase y como puedes notar has aprendido mucho durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu siguiente clase.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.