Introducción de las determinantes
Introducción
¡Hola!
Es todo un privilegio contar con tu asistencia en esta nueva sesión, es muy seguro que la vas a disfrutar y aprenderás mucho, es por ello que te invito a la clase nueve denominada Introducción de las determinantes del curso de Álgebra Lineal.
En esta sesión aprenderemos sobre el cálculo de determinantes de matrices de tamaño 2 x 2 (dos renglones por dos columnas) y de 3 x 3 (tres renglones por tres columnas). Antes que nada, espero que estés teniendo un excelente día y que te encuentres bastante bien.
Para esta sesión se observará que para obtener la determinante es necesario contar con matrices cuadradas, es decir, aquellas en las que su número de renglones equivale a su número de columnas.
Aprenderemos aquí que el procedimiento para obtener determinantes para matrices de tamaño 2×2 y 3×3, siendo importante señalar, que esta técnica no es válida para matrices de tamaño 4 x 4 o mayores. Sin embargo, es necesario conocer este procedimiento porque será útil al aplicar el Método de Factores que sí es aplicable para matrices de mayor tamaño.
Entendido lo anterior, empecemos la clase.
Desarrollo del tema
- Inicialmente, las determinantes se usaban para identificar sistemas de ecuaciones indeterminadas e inconsistentes.
- Si la determinante del lado izquierdo de la ecuación es diferente de cero, entonces el sistema de ecuaciones tiene solución única.
- En una matriz 2 x 2, es suficiente multiplicar los componentes de las diagonales principales y restarle el producto de los componentes de la diagonal que va en dirección contraria.
- En una matriz 3 x 3, se pueden repetir las dos primeras columnas como auxiliares y aplicar un proceso similar.
- En una matriz 3 x 3, se pueden repetir las dos primeras columnas como auxiliares y aplicar un proceso similar.
NOTA: En matrices de 4×4 o mayores no se puede utilizar este método.
Conclusión
En conclusión, Inicialmente las determinantes eran utilizadas para revisar si una ecuación era indeterminada o inconsistente.
Si se obtenía una determinante igual a cero, entonces nos encontrábamos en el supuesto anterior.
Con el paso del tiempo se le encontraron nuevas aplicaciones a esta herramienta, cuyo procedimiento es multiplicar los componentes de las diagonales que van en el sentido de esquina superior izquierda hacia esquina inferior derecha. Los productos de dichas diagonales se irán sumando y se restarán a la suma de productos de las componentes de las diagonales que van en sentido de la esquina superior derecha hacia la esquina inferior izquierda.
El resultado de lo anterior es una determinante. Sin embargo, cabe señalar que este procedimiento sólo es válido para matrices de tamaño 2×2 y 3×3, dando resultados erróneos en matrices de dimensiones superiores.
Has llegado al final de la clase. ¡Te felicito por tu importante logro! Te invito a realizar la consigna asignada en esta clase y mandarla como corresponde. No olvides que te espero en la siguiente sesión. Hasta entonces.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.