Ecuaciones Lineales
Introducción
¡Hola!
¡Vaya qué momento más grato el poder saludarte! Es un orgullo que continúes como estudiante de este curso. Espero que sigas perseverando hasta el final, por lo pronto te invito a revisar esta octava clase titulada ECUACIONES LINEALES del curso Álgebra Lineal.
Para esta sesión se pretende definir la forma en que se pueden resolver las ecuaciones que poseen matrices en sus elementos. Es necesario conocer las operaciones matriciales tal como la suma de matrices, la multiplicación de matrices y la inversa de matrices que revisamos en sesiones pasadas.
Aprenderemos aquí que el procedimiento para resolver una ecuación lineal es similar al utilizado para resolver una ecuación algebraica, bajo dos salvedades:
- No existen las divisiones de matrices
- Se debe vigilar en todo momento el orden de las matrices, porque las multiplicaciones no poseen la propiedad de conmutatividad, es decir, si cambiamos de lugar las matrices a multiplicar se obtendrán diferentes resultados.
Esperamos que la sesión sea de tu agrado y te invito a continuar con tu mismo ánimo. Vamos a la mitad del curso. Bien hecho.
¡Éxito en esta clase!
Desarrollo del tema
El procedimiento para resolver una ecuación lineal es similar al utilizado para resolver una ecuación algebraica, bajo dos salvedades:
- No existen las divisiones de matrices
- Se debe vigilar en todo momento el orden de las matrices
Ejemplo:
Contamos con la matriz
AX + B = C
Siendo todos los elementos anteriores matrices y con la intención de despejar la matriz X.
En primer lugar, tendríamos que restar la ecuación B de ambos lados de la ecuación:
AX + B – B = C – B
Vemos que la diferencia de la matriz B menos la matriz B da como resultado la matriz nula (siendo una matriz cuyos componentes tienen un valor de cero).
AX + 0 = C – B
Obsérvese que la matriz nula se representa con el número 0 en negritas. Ahora bien, por la propiedad de suma de matrices veremos que si el producto de la matriz AX es del mismo tamaño que la matriz nula, entonces por suma de matrices sumaremos las componentes de cada matriz. Entonces cualquier número al que se le sume cero da como resultado el mismo número, siendo lo mismo a:
AX = C – B
Ahora bien, recordemos que no existe la multiplicación de matrices, sin embargo es posible multiplicar ambos lados de la ecuación por la inversa de la matriz A:
A-1 AX = A-1 (C – B)
Observa que la matriz inversa se representa con la nomenclatura A-1.
Además, observe que en ambos lados de la ecuación la inversa de la matriz se colocó del lado izquierdo de los términos.
NOTA: Recuerda que no todas las matrices son invertibles. Por lo que si fuera el caso, entonces la ecuación lineal no tendría solución.
Por otro lado, y como ejercicio, podrás comprobar que si una matriz que sí es invertible se multiplica por su inversa, nos dará como resultado la matriz identidad (I):
I X = A-1 (C – B)
Recuerda que la matriz identidad es una matriz particular en la que su diagonal está compuesta por números uno y el resto de sus componentes equivalen a cero.
Nuevamente como ejercicio, podrás corroborar que cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad (sin importar en este caso el orden de la multiplicación), entonces tendrá como resultado la misma matriz.
X = A-1 (C – B)
De esta manera, hemos despejado la matriz X en la ecuación, por lo que sólo queda realizar las operaciones matriciales correspondientes y en el orden señalado:
- Obtener la inversa de la matriz A y conservar el valor
- Obtener la diferencia de la matriz C menos la matriz B
- La inversa de la matriz A se multiplicará por la diferencia de las matrices C-B
Es importante, recordar que el orden de las matrices en una multiplicación sí afecta el resultado final, por lo que, se debe tener cuidado en la técnica del despeje para evitar resultados erróneos.
Conclusión
En resumen, el procedimiento para resolver una ecuación lineal es similar al utilizado para resolver una ecuación algebraica, bajo dos salvedades:
- No existen las divisiones de matrices.
- Se debe vigilar en todo momento el orden de las matrices.
Es importante señalar que no toda ecuación lineal puede resolverse cuando nos encontramos en los siguientes supuestos:
- No se pueden realizar las operaciones matriciales correspondientes (suma, multiplicación o inversa de matrices).
Con esto llegamos al final de la clase. ¡Felicidades, has concluido un tema muy interesante! No olvides la tarea, recuerda enviarla en tiempo y forma. Hasta la siguiente clase.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.