Propiedades de las determinantes
Introducción
¡Hola!
No sabes la alegría que tengo al saber que sigues perseverando en tu educación. Te comento que estás a pocas clases de lograr el objetivo de este curso y con ello subes un peldaño más en tu aprendizaje. ¡Qué emoción no crees! Pues bien, para completar todo este proceso formativo te invito a empezar esta sesión que es la número once denominada Propiedades de las determinantes del curso Álgebra Lineal.
Para la gran mayoría de veces, aplicar el Método de Factores directamente sobre una matriz compleja (refiriéndonos a dimensiones de 5×5 o más, incluso mucho más), dará como resultado un número grande de operaciones que debemos resolver. Notaremos que en matrices de 50 x 50, 500 x 500 o incluso más, el conjunto de operaciones necesarias para obtener todos los factores es bastante grande que se vuelve poco funcional resolverlas, con el riesgo de los errores en cálculos que esto implica.
Es por ello, que se vuelve imperante conocer las propiedades de las determinantes para simplificar la matriz a una más simple y así resolverla, afectando únicamente los valores directos de las determinantes.
Una vez aclarado lo anterior, te invito a proseguir.
Desarrollo del tema
1) Si aplicamos la operación elemental “suma de renglones” a una matriz conservará el valor de su determinante.
2) Si aplicamos la operación elemental “Permuta” entre dos renglones de una matriz cambiará el signo de su determinante.
3) Si aplicamos la operación elemental “Multiplicación por escalar” en un renglón de la matriz, la determinante se multiplicará por el mismo escalar.
4) La determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de su diagonal principal.
Ejemplo:
Calcular la siguiente determinante (mediante operaciones elementales):
Paso 1) Aplicar el Método de Gauss para obtener una matriz triangular (superior o inferior)
Aplicamos el Método estándar de Gauss (convertir la primera componente en 1):
Aplicamos el Método estándar de Gauss (ahora convertimos los elementos debajo del primer pivote en ceros):
Aplicamos el Método estándar de Gauss (convertimos la componente central en 1):
Aplicamos el Método estándar de Gauss (convertimos en cero el número debajo de dicho pivote):
Paso 2) Revisar TODAS las operaciones elementales realizadas en el paso 1
Las operaciones elementales realizadas fueron las siguientes:
Recordemos que las sumas de renglones no afectan la determinante, pero sí las multiplicaciones por escalares. Las seleccionamos:
Paso 3) Multiplicar las componentes de la diagonal de la matriz triangular
Multiplicamos los componentes de la diagonal:
Paso 4) Multiplicar la determinante modificada por el recíproco de cada escalar multiplicado durante el paso 1.
Los escalares que se multiplicaron durante el Método de Gauss se encierran en un rectángulo rojo.
Los recíprocos de los escalares son:
Entonces:
Conclusión
En conclusión, repasemos lo siguiente: Consideremos una matriz A y su determinante.
- Si a dicha matriz A, le aplicamos una suma de renglones, observaremos que su determinante es la misma.
- Si a dicha matriz A, le aplicamos una permuta de renglones, entonces su determinante cambia de signo.
- Si a la matriz A, le multiplicamos un renglón por un escalar, entonces la determinante se multiplicará por dicho escalar.
- Si tenemos una matriz triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de sus componentes.
A partir de estas propiedades, es posible simplificar las operaciones para obtener el valor de una determinante.
Hemos llegado al final de la clase, me siento muy feliz de que hayas llegado hasta aquí. ¡Te felicito, tienes una gran voluntad! Para cerrar la clase te invito a realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te espero en tu próxima sesión, hasta entonces.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.