Método de Cramer
Introducción
¡Hola!
Me complace enormemente saber de ti, espero que compartas mi emoción y te sumes con una gran actitud y ánimo a esta clase 12 titulada Método de Cramer del curso Álgebra Lineal.
El Método de Cramer, nos permite obtener el valor de las incógnitas en un sistema de ecuaciones haciendo uso de las determinantes. Esta es una de las aplicaciones que poseen las determinantes. Si la determinante es cero, podemos definir que nos encontramos con un sistema de ecuaciones indeterminado.
Cuento con que esta clase sea de gran apoyo para ti.
¡Éxito!
Desarrollo del tema
Otra manera de encontrar el valor de las incógnitas de un sistema de ecuaciones es mediante el Método de Cramer.
Como ejemplo consideremos las siguientes:
Ecuación 1) 5x + 2y + z = 20
Ecuación 2) 2x + y + 2z = 10
Ecuación 3) 4x + y + 3z = 17
Si las convertimos a un sistema matricial:
Del lado izquierdo de la ecuación se tienen tres columnas con los coeficientes de las incógnitas (C), mientras que al lado derecho se tiene una columna de resultados (R).
Para obtener el valor de las incógnitas aplicamos las fórmulas siguientes:
X = D1/D
Y = D2/D
Z = D3/D
Donde D, D1, D2 y D3 son determinantes.
Para obtener D se requieren las tres primeras columnas (marcadas en azul) e ignoramos la columna amarilla.
La determinante D equivale a:
D = [(5) (1) (3) + (2) (1) (1) + (4) (2) (2)] – [(5) (2) (1) + (2) (2) (3) + (1) (1) (4)]
D = 7
Para obtener D1 es necesario sustituir la columna de resultados (color amarillo) en la columna C1.
Ahora obtenemos la determinante D1:
D1 = [(20) (1) (3) + (10) (1) (1) + (17) (2) (2)] – [(20) (2) (1) + (10) (2) (3) + (1) (1) (17)]
D1 = 21
En el caso de D2 dejamos la columna C1 en su lugar y sustituimos la columna C2 por R.
Se obtiene la determinante D2:
D2 = 14
Del mismo modo para D3 sustituimos la columna C3 por la columna R.
Se obtiene la determinante D3:
D3 = 7
Sustituyendo en las fórmulas:
Conclusión
Para concluir recordemos lo siguiente:
Para el Método de Cramer es necesario recurrir a las determinantes y aplicar las siguientes fórmulas:
Donde la determinante D es la que se obtiene al considerar la matriz formada sólo por los coeficientes de las incógnitas.
Los valores D1, D2 y D3 son las determinantes que se obtienen al sustituir la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la columna de resultados (constantes).
¡Te felicito por tu logro! Te invito a continuar con tu proceso formativo realizando y mandando la actividad asignada a esta clase. “Perseverar es sinónimo de tenacidad, no decaigas sigue perseverando en tu educación” Te encuentro en la siguiente clase. Hasta luego.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.