Espacios vectoriales
Introducción
¡Hola!
Es un gusto saber que continúas en este camino formativo, en esta ocasión nos encontramos en la clase 13 denominada Espacios vectoriales del curso Álgebra lineal.
Antes que nada, espero que estés teniendo un excelente día y que te encuentres bastante bien. Del mismo modo, te invito a participar y completar las consignas correspondientes para esta sesión.
- Los espacios vectoriales son conjuntos de vectores que permiten dos operaciones binarias:
- Multiplicación por escalar.
- Suma
Veremos que no todas las ecuaciones cumplen con estas condiciones por lo que no son espacios vectoriales. A su vez el entendimiento de este tema nos permitirá abordar las siguientes sesiones sobre combinaciones lineales y conjuntos generadores.
Esperamos que la sesión sea de tu agrado y te invito a proseguir con tu mismo ánimo.
Desarrollo del tema
- Los espacios vectoriales son conjuntos de vectores que permiten dos operaciones binarias:
- Multiplicación por escalar.
- Suma
Ejemplo 1:
- Poseemos la ecuación:
x – y = 0
Si otorgamos el valor de:
x = 5
Entonces:
y = 5
O bien, de forma matricial
NOTA: Observa que el par de números se encuentra en la recta.
Si al par x = 5, y = 5 (o mejor dicho vector), lo multiplicamos por cualquier escalar, por ejemplo -1.
Obtenemos un segundo vector:
X = -5
Y = -5
NOTA: Observa que el vector multiplicado por un escalar sigue estando en la recta.
Se ve entonces que si a un par de respuestas correctas (x, y), se le multiplica cualquier escalar (c), esto dará otro conjunto de respuestas correctas:
Observemos que si sumamos dos vectores de respuestas correctas nos dará como resultado otra respuesta correcta.
EJEMPLO:
Sabemos que el par x=5 y=5 resuelve la ecuación. Lo llamaremos vector 1 (V1).
Igual que X=-5, y = -5. Será vector 2 (V2).
Se concluye que: x – y = 0 Es un ESPACIO VECTORIAL.
EJEMPLO 2:
Poseemos la ecuación: x – y = 5
Si otorgamos el valor de:
x = 0
Entonces:
y = -5
O bien, de forma matricial
Si al vector x = 0, y = 5, lo multiplicamos por cualquier escalar, por ejemplo -1.
Obtenemos un segundo vector:
X = 0
Y = 5
NOTA: Observa que el vector multiplicado por un escalar está fuera de la recta.
Si sumamos dos vectores de respuestas correctas:
V1;
X = 0
Y = -5
V2;
X = 5
Y = 0
Se concluye que la ecuación:
x – y = 5
NO ES ESPACIO VECTORIAL
NOTAS:
Recuerda que si realizamos un producto escalar de:
Obtenemos:
(1) (x) + (-1) (y) = 0
Tip: TODAS las ecuaciones de rectas que pasen por el origen (coordenada 0,0) son espacios vectoriales.
Conclusión
En resumen:
- Se puede decir que los espacios vectoriales son CUALQUIER REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA donde una respuesta correcta multiplicada por un escalar, dará como resultado otra respuesta correcta.
- Y al sumar dos respuestas correctas diferentes de un espacio vectorial nos da como resultado otra respuesta correcta.
- Del mismo modo, si multiplicamos un vector de cualquier espacio vectorial por un número escalar, entonces el resultado también estará dentro del mismo espacio vectorial.
Hemos llegado al final de la clase ¡Te felicito por tu logro! Para completar la sesión te pido que realices la tarea asignada. Sigue avanzando en tu curso, falta poco para que logres completarlo. Te espero en la siguiente clase, hasta luego.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.