Inecuaciones de primer grado
Introducción
Las inecuaciones lineales son desigualdades que involucran variables lineales y constantes, y se utilizan para representar restricciones en problemas de la vida real.
Las inecuaciones lineales pueden ser utilizadas para modelar situaciones donde hay limitaciones en la cantidad o el tamaño de ciertos objetos o cantidades, como en problemas de optimización, programación lineal y estadística. Por ejemplo, se pueden utilizar inecuaciones lineales para representar restricciones en el uso de recursos limitados, como tiempo, dinero o espacio.
Para resolver una inecuación lineal, es necesario determinar los valores de «x» que satisfacen la desigualdad. En general, estos valores se encuentran en un intervalo, que puede ser abierto o cerrado, y que depende de las constantes «a», «b» y «c» de la inecuación.
Existen diferentes métodos para resolver inecuaciones lineales, como la representación gráfica, la prueba de puntos, la multiplicación o división por una constante, y la adición o sustracción de una constante. Estos métodos pueden ser utilizados de manera conjunta para encontrar la solución de una inecuación lineal de forma sistemática y eficiente.
En resumen, las inecuaciones lineales son herramientas matemáticas útiles para representar restricciones en problemas de la vida real y para modelar situaciones donde hay limitaciones en la cantidad o el tamaño de ciertos objetos o cantidades. La resolución de inecuaciones lineales puede ser realizada mediante diferentes métodos, y es importante elegir el método más adecuado en función del contexto y las características de la inecuación.
Desarrollo del tema
Desigualdad
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
Signos de desigualdad matemática
Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes:
- Desigual a: ≠
- Menor que: <
- Menor o igual que: ≤
- Mayor que: >
- Mayor o igual que: ≥
Cada una de ellas debe relacionar dos elementos matemáticos:
La notación a < b significa a es menor que b
La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como “desigualdades”, puesto que “a” no puede ser igual a “b”; también puede leerse como «menor que» o «mayor que».
La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b
La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≠ b significa que “a” no es igual a “b”. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades.
Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad Para números reales arbitrarios a,b y c:
Si a > b y b > c entonces a > c.
Si a < b y b < c entonces a < c.
Si a > b y b = c entonces a > c.
Si a < b y b = c entonces a < c.
Adición y sustracción Para números reales arbitrarios a,b y c:
Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto Para números reales arbitrarios a y b:
Si a < b entonces −a > −b.
Si a > b entonces −a < −b. Observa que el signo de la desigualdad cambia.
Recíproco Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
Si a < b entonces 1/a > 1/b.
Si a > b entonces 1/a < 1/b.
Si a y b son de distinto signo.
Si a < b entonces 1/a < 1/b.
Si a > b entonces 1/a > 1/b.
En resumen:
Fuente: Matemáticas simplificadas de CONAMAT
Intervalos en los Números Reales
La Expresión: {x ℇ R / a < x < b} se conoce como Intervalo, representa al conjunto de todos los números reales que:
están entre otros dos reales “a” y “b” dados. En este caso x no puede ser ni “a” ni “b”.
Tipos de Intervalos:
Intervalo Abierto: Conjunto de números entre a y b, sin incluirlos, se simboliza por: ( )
Intervalo Cerrado: Conjunto de números entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza por: [ ]
Intervalo Semiabierto por Derecha: Intervalo de puntos entre a y b, que incluye a “a” pero excluye a “b”. Simboliza: [ )
Intervalo Semiabierto por Izquierda: ( ]
Representación GRÁFICA de intervalos
(-3,6) -3< x < 6
Revisa el video para ampliar la explicación:
Ejemplos:
De manera general, podemos expresar las desigualdades:
Diferencia entre desigualdad e inecuación
Es importante conocer que existe un elemento matemático diferente a la desigualdad matemática que es usualmente confundido con ella: las inecuaciones.
Una inecuación se basa en una desigualdad, pero su resultado puede ser incongruente o, simplemente, denotar que no existe solución posible al enunciado. Por lo tanto, una inecuación puede ser una desigualdad, pero, por otro lado, una desigualdad no tiene por qué ser una inecuación.
Por ejemplo, 3 < 5 es una desigualdad que se cumple, pero no será nunca una inecuación porque no contiene ninguna incógnita.
Por lo tanto, una desigualdad es una proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. No necesita contener una incógnita y si es así puede ser, a la vez, una inecuación. Para operar con ellas debes entender sus propiedades ante la suma, resta, multiplicación y división de sus elementos.
Solución de una inecuación de primer grado o lineal
La solución de una inecuación es el valor o conjunto de valores que puede tomar la incógnita “x” para que se cumpla la inecuación. A diferencia de las ecuaciones (cuyo signo es «=»), no podemos saber de antemano el número de soluciones.
Resolver una desigualdad lineal consiste en despejar la incógnita para obtener todos los valores que satisfacen la desigualdad. A este conjunto de valores se le conoce como conjunto solución. El conjunto solución puede tener una solución, ninguna solución o una infinidad de soluciones.
Fuente: http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/16_Aplicaciones_en_la_solucion_grafica_de_desigualdades_html/index.html#
Puedes consultar los siguientes videos para más ejemplos:
Puedes practicar ejercicios en el siguiente link:
Conclusión
En conclusión, las desigualdades e inecuaciones lineales son herramientas fundamentales en el ámbito de las matemáticas y tienen múltiples aplicaciones en diversos campos. Al resolver desigualdades e inecuaciones lineales, podemos determinar los conjuntos de valores que satisfacen ciertas condiciones y establecer relaciones de orden entre variables.
Las desigualdades lineales se representan mediante símbolos como «<» (menor que), «>» (mayor que), «<=» (menor o igual que) y «>=» (mayor o igual que). Resolver una desigualdad consiste en encontrar los valores de la variable que cumplen dicha desigualdad. Esto implica determinar el conjunto de soluciones o el intervalo en el cual se encuentran los valores que satisfacen la desigualdad.
Por otro lado, las inecuaciones lineales se expresan mediante una desigualdad lineal, pero admiten múltiples soluciones. Al resolver una inecuación, obtenemos un intervalo o una región en el plano cartesiano que contiene todos los puntos que satisfacen la inecuación.
La resolución de desigualdades e inecuaciones lineales nos permite tomar decisiones basadas en restricciones y establecer rangos de valores para variables en problemas del mundo real. Por ejemplo, en economía, se utilizan para analizar la viabilidad de proyectos o la optimización de recursos. En física, se emplean para establecer límites y rangos de valores en diversas magnitudes.
Es importante tener en cuenta las reglas y propiedades de las desigualdades e inecuaciones lineales al resolver y manipular estas expresiones matemáticas. Además, es fundamental interpretar adecuadamente los resultados obtenidos en términos del problema o contexto específico en el que se aplican.