Clase digital 12. Introducción al interés compuesto

Introducción al interés compuesto

Introducción

¡Hola!

Es todo un privilegio contar con tu asistencia en esta nueva sesión, es muy seguro que la vas a disfrutar y aprenderás mucho, es por ello que te invito a esta clase doce del curso de Matemáticas financieras donde aprenderás un tema relevante para tu formación académica.

Durante el desarrollo de esta tercera unidad, se ha revisado a fondo las diferentes situaciones donde se utiliza el concepto de interés compuesto, ejemplos y situaciones que cualquier persona podría experimentar, como el cobro de intereses sobre algún préstamo, las ganancias obtenidas de alguna inversión, o el valor real que se pagará sobre un artículo comprado a crédito en alguna tienda departamental.

Recordemos que, el interés simple es el beneficio que un acreedor obtiene por una inversión, es decir, es el capital que se cobra a un deudor por el tiempo de uso del dinero o valor inicial de la deuda, y el interés solo se genera por ese capital.

De acuerdo con (Vidaurri, 2009), el interés compuesto, es “la operación financiera en la que el capital aumenta al final de cada periodo por la suma de los intereses vencidos”. Para entender mejor esta definición recordemos que en interés simple cuando una deuda tenía varios periodos, por ejemplo 18 meses, el capital no cambiaba y los intereses se cobraban siempre con base a ese capital. El interés compuesto se refiere a que al finalizar cada periodo el capital se cambiará debido a la adición o suma de los intereses generados. Este nuevo capital generado por la suma de los intereses se le conocerá ahora como monto, y sobre este monto se calcularán los nuevos intereses. Este proceso se repetirá de forma sucesiva hasta cubrir los periodos de la deuda o inversión.

Es importante mencionar que, el periodo en que estos intereses formaran parte del nuevo capital o monto, se le conoce como periodo de capitalización o conversión. Además, la capitalización puede ser mensual, semestral, anual o cualquier otro periodo que se acuerde entre el deudor y acreedor.

El interés compuesto es el más usado por las instituciones financieras tanto en los créditos como en las inversiones, ya que como hemos mencionado, el valor del dinero a través del tiempo va cambiando, debido a que afectan varios factores, principalmente la inflación, la demanda de un artículo o insumo, alguna contingencia sanitaria, como la que estamos viviendo, entre otros factores. Las instituciones financieras al prestar su dinero saben que lleva implícito un riesgo, además de que el poder adquisitivo va disminuyendo, por lo que se utiliza el interés compuesto para poder recuperar su dinero con un “equivalente” al poder adquisitivo y además obtener una ganancia.

Te invito a saber más de este extraordinario tema.

Desarrollo del tema

Durante la presente clase, se estarán abordando las comparaciones cuantitativas entre el interés simple y compuesto, esto con el fin de identificar fácilmente cada tipo y recordar sus características esenciales, para el momento de tomar alguna decisión financiera como alguna inversión o deuda. También se comenzará con la resolución de ejercicios de interés compuesto con situaciones reales como querer calcular el valor actual, valor futuro, la tasa de interés o el tiempo de la deuda.

El concepto de interés compuesto y el manejo de este será fundamental cuando de matemáticas financieras se hable. El interés compuesto es el tipo de interés más común y presente en el mundo financiero ya que se utiliza en operaciones a largo plazo como inversiones de capital, calcular algún monto, interés pagado o el tiempo de alguna inversión o deuda.

Recordemos que este tipo de interés se va capitalizando a razón del tiempo, y se mide en los periodos de capitalización o de conversión. El cálculo del valor actual se vuelve en una operación fundamental ya que se presenta de forma constante en documentos como pagarés o inversiones financieras a largo plazo. De acuerdo con Mora Zambrano (2009), el interés compuesto “es el interés de un capital al que se van acumulando los réditos para que produzcan otros.”

Cuando calculamos interés compuesto, el capital aumenta debido a la suma de intereses vencidos al final de cada periodo tomando en cuenta la tasa. Siempre que no se pague efectivamente el interés al final de algún periodo (interés simple), si no que se adicione al capital (interés compuesto), se dice que los intereses se capitalizan. La principal característica del interés compuesto es que el interés generado en determinado periodo de tiempo se suma al capital y este valor nuevamente gana intereses, sumándose al nuevo capital o monto. Esto se realiza de forma sucesiva hasta abarcar los períodos de capitalización establecidos.

Comparación cuantitativa de interés simple e interés compuesto

Como se mencionó anteriormente, el interés simple calcula los intereses solo una vez, y se diferencia con el interés compuesto ya que en éste el interés se va acumulando al capital de forma periódica, es decir, que los intereses se capitalizan. Comúnmente, el interés simple se utiliza a corto plazo, por ejemplo, hasta un año, y el interés compuesto a largo plazo, es decir más de un año.

Para entender mejor la diferencia entre los dos tipos de interés, se explicará con un ejemplo.

Ejercicio 1. Calcula el monto, el interés simple y compuesto de un capital de $18,000 a una tasa de interés del 9.5% durante 4 periodos.

Notemos que para este ejemplo la tasa de interés y periodos están en la misma unidad de tiempo, ya que no se menciona si son años, semestres, trimestres, etc.

Cálculo a interés simple

Recordando fórmulas del interés simple:

Por lo tanto, el interés a pagar fue:

Cálculo a interés compuesto

1. Pagar el primer periodo:

2. Pagar el segundo periodo:

3. Pagar el tercer periodo:

4. Pagar el cuarto periodo:

El interés a pagar fue:

Con los cálculos anteriores, podemos notar que el interés simple sólo calcula los intereses una sola vez como se había mencionado anteriormente, y en el interés compuesto estos intereses se capitalizan o se van acumulando al capital de forma periódica.

Notemos que, la diferencia de interés a pagar mediante interés simple en comparación con interés compuesto durante el mismo periodo de tiempo y tasa es:

A continuación, con base al ejercicio uno se observará mediante una tabla y gráfica el comportamiento de los intereses y montos cuando se trabaja con interés simple y compuesto.

Tabla 1. Interés simple vs. Interés compuesto
Autora: Eva Lozano Montero.

Podemos observar que, la diferencia entre el monto a interés simple y el monto a interés compuesto radica en que, el monto a interés compuesto crece de manera exponencial en función del tiempo, debido a la acumulación de los intereses al capital por cada periodo de capitalización.

De manera gráfica, el interés compuesto crece en función del nuevo capital cada periodo, mientras que el interés simple se mantiene siempre constante durante todos los periodos ya que no se capitaliza o se suma al Capital original, por lo tanto, mientras más periodos dure la deuda o inversión, mayor será la diferencia entre el interés simple y compuesto.

Variables del interés compuesto

Antes de abordar las fórmulas del interés compuesto, se debe tomar en cuenta previamente las variables i (tasa de interés por periodo de capitalización) y n (número de periodos de capitalización) para su respectivo cálculo.

Recordemos que:

No está de más mencionar, que al igual que el interés simple, todo debe estar en la misma unidad de tiempo para que los cálculos realizados por ejemplo de algún monto a interés compuesto sean correctos.

Para dimensionar la importancia que tienen las conversiones del tiempo en el interés compuesto o situaciones que se van a presentar al momento de querer calcular algún monto o valor actual, se realizará el siguiente ejercicio.

Ejercicio 2. ¿Cuál será el número de periodos de capitalización y la tasa de interés por periodo de capitalización sobre una inversión a interés compuesto durante 9 años, con una tasa de interés del 12% anual capitalizable semestralmente?

Sabemos que:

• t = 9 años

Por lo tanto:

El resultado anterior tiene sentido, ya que el interés se estará capitalizando cada seis meses, es decir 2 veces al año, por lo que, si son 9 años el tiempo de la inversión, serán 18 periodos de capitalización o 18 semestres en 9 años.

Pasando al cálculo de la tasa de interés por periodo de capitalización, se utiliza la siguiente fórmula:

Notemos que las fórmulas utilizadas en el ejercicio 2, se pueden considerar y adaptar conforme a la unidad de tiempo que se esté manejando, siendo así las más comunes son las utilizadas en el ejercicio 2.

Conclusión

Es de gran relevancia conocer la operatividad del interés compuesto, ya que, al solicitar un crédito, se puede verificar si el monto a pagar es el correcto, además de realizar varias preguntas importantes que coadyuven a la mejor toma de decisión antes de firmar. Asimismo, si se desea invertir, se debe considerar el valor del dinero a través del tiempo y comparar la tasa de interés que se ofrece contra la inflación, para conocer el interés real.

Para concluir con la clase de introducción al interés compuesto, no está de más recordar los puntos más importantes revisados hasta el momento:

• Interés compuesto: El interés compuesto se refiere a que al finalizar cada periodo el capital se cambiará debido a la adición o suma de los intereses generados.
• Comparación de interés simple e interés compuesto: El interés simple calcula los intereses solo una vez, y se diferencia con el interés compuesto ya que en éste el interés se va acumulando al capital de forma periódica, es decir, que los intereses se capitalizan. Por lo tanto, el Monto generado por interés compuesto siempre será mayor al Monto del interés simple.

Hemos concluido la clase y como puedes notar has aprendido mucho durante el trayecto del curso ¡Muchas felicidades! Te invito a repasar los temas y conceptos revisados y la realización de las consignas para que se pueda alcanzar el aprendizaje esperado en esta clase. Te encuentro en tu próxima sesión.

Fuentes de información

• Profe Ale, (2021). ¿Qué es el interés compuesto? Consultado en https://youtu.be/lEGk3ILeLuQ
• Profe Alex, (2021). Interés compuesto capitalizable. Consultado en https://youtu.be/28s_l6857Ic
• Mora, A., & Zambrano, V. H. P. (2009). Matemáticas financieras. Alpha Editorial. p. 127-131.