Interés compuesto (Monto)
Introducción
¡Hola!
No sabes la alegría que tengo al saber que sigues perseverando en tu educación. Te comento que estás a pocas clases de lograr el objetivo de este curso y con ello subes un peldaño más en tu aprendizaje. ¡Qué emoción no crees! Pues bien, para seguir completando este proceso formativo te invito a empezar esta sesión que es la número trece.
A la diferencia generada por la resta del monto compuesto y el capital original se le conoce como interés compuesto. El monto de un capital a interés compuesto se le conoce como monto compuesto y es el valor del capital acumulado o capital final después de sucesivas adiciones de intereses.
Durante la clase pasada, se dio una introducción a lo que es el interés compuesto, explorando las diferencias que tiene con el interés simple. En la clase anterior, se calculó el monto e interés generado por un capital a determinada tasa de interés durante cierto tiempo. En el interés compuesto existen periodos de capitalización, que no son más que espacios de tiempo en que el interés se adiciona al capital. Este periodo se puede presentar de forma anual, semestral, mensual o espacio de tiempo acordado entre el acreedor y deudor.
La resolución del ejercicio se realizó sin problema al momento de calcular interés compuesto, ya que solo se conformaba de cuatro periodos de capitalización, por lo tanto, surge la pregunta de cómo calcular un monto compuesto si se tienen varios periodos de capitalización, por ejemplo, n=30. Una de las opciones no tan viables para conocer ese monto compuesto sería realizar las 30 operaciones de cálculo y así conocer el monto compuesto, pero esto sería demasiado tedioso, cansado e innecesario.
Otra opción un poco más viable es usar la herramienta de Excel, plasmar todo en una tabla y con las funciones obtener los cálculos de manera más rápida y automatizada. Aunque esta última opción es aceptable, no es tan usada cuando solo se quiere conocer el monto a interés compuesto. A partir de este punto, surge otra duda natural, ¿Existe una fórmula para conocer el monto a interés compuesto?
La respuesta es sí, y al igual que en el interés simple, existe una fórmula para conocer ese valor futuro o monto compuesto y durante el desarrollo de la presente clase se abordará, desde la deducción de la fórmula hasta su aplicación en problemas más comunes de interés compuesto.
¿Interesante no crees? ¡Pues comencemos!
Desarrollo del tema
Como la mayoría de las fórmulas deducidas en el mundo matemático, su deducción surge de problemas donde es necesario reducir los cálculos y con las variables conocidas encontrar la incógnita. Para deducir la fórmula del monto compuesto, partiremos de un ejercicio y con los cálculos realizados a cada periodo de capitalización, encontrar un patrón o repetición constante que se pueda generalizar.
Fórmula del Monto a interés compuesto
Realizar el cálculo del monto a interés compuesto de un capital de $10,000 a un plazo de 4 años, con una tasa de interés del 15% anual. El periodo de capitalización es anual
Plasmando los cálculos en la siguiente tabla obtenemos:
Tabla 1. Interés compuesto
Autora: Eva Lozano Montero.
| Periodo | Capital al inicio del periodo | Interés | Monto al final del periodo |
|---|---|---|---|
| 1 | $ 10, 000.00 | $ 1, 500.00 | $ 11, 500.00 |
| 2 | $ 11, 500.00 | $ 1, 725.00 | $ 13, 225.00 |
| 3 | $ 13, 225.00 | $ 1, 983.75 | $ 15, 208.75 |
| 4 | $ 15, 208.75 | $ 2, 281.31 | $ 17, 490.06 |
Recordemos que la fórmula para el cálculo del interés fue
Podemos notar que esta fórmula es la del interés simple, por lo que para calcular el interés compuesto se tomaba como capital para el nuevo periodo el monto del periodo anterior. Notemos que lo dicho anteriormente fue en términos generales y no en cantidades del problema, por lo que para deducir la fórmula del monto a interés compuesto también tendremos que manejar términos generales.
Usando el ejemplo anterior obtenemos la siguiente tabla en términos generales:
Tabla 2. Fórmula del interés compuesto.
Autora: Eva Lozano Montero
| Periodo | Capital al inicio del periodo | Interés | Monto al final del periodo |
|---|---|---|---|
| 1 |  |  |  |
| 2 |  |  |  |
| 3 |  |  | Realizando cálculos similares al monto del segundo periodo obtenemos el monto a su mínima expresión: |
| 4 |  |  |  |
Nota: En el cálculo de interés podemos eliminar el tiempo, ya que se capitaliza cada periodo, por lo tanto, t = 1 y al quitarlo no afecta el resultado, por lo que a partir del periodo dos se omite colocar la variable del tiempo.
Con los cálculos realizados en la tabla 2, podemos notar un patrón, que el monto al final de cada periodo siempre estará definido por:
Siendo n el número de periodo del cual se esté calculando el monto.
Por lo tanto, la fórmula para calcular el Monto con base al interés compuesto es:
Con la fórmula del Monto compuesto, para calcular los intereses compuestos, se le restará al Monto el valor actual o Capital, al igual que en el interés simple.
Tomando como base lo realizado en la tabla 1, calcula el monto del periodo 3 y 4.
Como podrás notar, los datos coinciden con los de la tabla y la deducción de la fórmula fue realizada de manera correcta.
Antes de comenzar a utilizar la fórmula del Monto en interés compuesto, es importante mencionar que en algunas bibliografías cuando el periodo de capitalización es una vez al año, es decir, que la tasa se capitaliza anualmente se le llama tasa de interés efectiva.
Ejemplo 1. ¿Qué cantidad se acumula al final de 7 años si se invierten $3,500 a una tasa del 11% anual capitalizable mensual, trimestral y semestralmente?
- Capitalizable mensualmente:
- Capitalizable trimestralmente
- Capitalizable semestralmente
Del ejemplo anterior, se pueden generar varias conclusiones. La primera es que entre más periodos de capitalización tenga la inversión o préstamo, mayor será el Monto, y tiene sentido ya que hay mayor capitalización.
La segunda es que se genera un nuevo patrón cuando las capitalizaciones son menores a un año. Notemos que para el cálculo de la tasa n se puede utilizar la fórmula revisada la clase pasada:
Aunque un cálculo más rápido fue multiplicar el número de años por el número de capitalizaciones al año(m).
El patrón que se genera al calcular la tasa es que siempre será el valor de nuestra tasa anual, en este caso 0,11 entre el número de capitalizaciones al año (m). Por lo tanto, en la fórmula del monto podemos remplazar i.
Por lo tanto, para evitar confusiones y olvidar ajustar n o i cuando se tengan periodos de capitalización menores a un año, la fórmula del Monto se puede expresar de la siguiente manera:
Comprobemos la fórmula con el ejemplo 1 cuando se capitaliza trimestralmente:
El resultado fue el mismo, por lo que el procedimiento usando los dos métodos es correcto, aunque es más conveniente utilizar la última fórmula ya que es más directa y se usará cuando los periodos de capitalización sean menores a un año.
Conclusión
Durante la presente clase, se exploró más a fondo lo que implica la temática de interés compuesto. El principal punto a destacar fue el desarrollo y deducción de la fórmula del monto para interés compuesto.
Es fundamental conocer de dónde se obtienen las fórmulas matemáticas para cuando se utilicen, tener un contexto y panorama de lo que se está realizando, y no solo resolver un ejercicio de forma mecánica, que, aunque se resuelva de forma correcta, siempre es importante la interpretación de los resultados y que se comprenda qué es lo que se está calculando y la toma de decisiones.
Para la deducción de la fórmula plasmamos con datos generales (sin cantidades) de un problema los patrones y comportamientos que tenían los cálculos conforme cada periodo de capitalización.
Al final, desarrollando operaciones generales y reduciéndolas a su mínima expresión se obtuvo que la fórmula del monto a interés compuesto es:
Otro punto importante que rescatar es que en el interés compuesto la mayoría de los problemas que se presentan es cuando los periodos de capitalización son menores a un año. Durante la clase pasada se exploraron situaciones y se utilizaron fórmulas para determinar n e i y estos se encuentren en la misma unidad de tiempo.
Durante el desarrollo de los ejemplos de la presente clase, se logró notar patrones que seguían los cálculos cuando se tenían diferentes periodos de capitalización. El primero fue que entre más periodos de capitalización tenga la inversión o préstamo, mayor será el Monto, y tiene sentido ya que se capitaliza en mayor número de veces. El segundo patrón que se genera es al calcular la tasa, ésta siempre será el valor de nuestra tasa anual entre el número de capitalizaciones al año (m). Por lo tanto, en la fórmula del monto se coloca i/m.
De forma concreta, la fórmula del monto que se utilizará a interés compuesto cuando los periodos de capitalización son menores a 1 año es:
Se recalca que todos los resultados se deben interpretar de manera objetiva para facilitar decisiones certeras.
Hemos llegado al final de la clase, me siento muy feliz de que hayas llegado hasta aquí. ¡Te felicito, tienes una gran voluntad! Para cerrar la clase te invito a realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te espero en tu próxima sesión, hasta entonces.
Fuentes de información
- Profe Alex, (2021). Interés compuesto. Ejemplo 1. https://youtu.be/cD5xmLtYjYI
- Aprende a Invertir, (2022). Interés Compuesto: La Fórmula para Multiplicar tu Dinero Exponencialmente. https://youtu.be/8UjDqDJHvh0
- Rosas, E. (2019). La Magia Del Interés Compuesto: Cómo Crecer Tus Inversiones De Forma Exponencial. https://youtu.be/8iaan3a-7GM