Clase digital 15: Conjuntos generadores

Conjuntos generadores

Introducción

¡Hola!

¡Qué bueno es encontrarte nuevamente! Te doy la bienvenida a la clase digital 15 del curso Álgebra Lineal en la que estudiaremos el tema Conjuntos generadores. 

Para esta sesión será necesario recordar sobre combinaciones lineales. 

Veremos que a partir de algunos vectores es posible obtener otros más mediante suma de vectores o multiplicación por escalar. 

Sin más que agregar, te invito a comenzar la clase.

Desarrollo del tema

• Los vectores que forman a otros vectores de su mismo espacio vectorial mediante combinaciones lineales son conjuntos generadores.

Ejemplo 1:

• Si queremos representar vectores 2 x 1 (dos renglones por una columna) como una combinación lineal de los vectores “i” y “j”:

Ejemplo 2:

• Si queremos representar vectores 2 x1 (dos renglones por una columna) como una combinación lineal de los vectores “h” y “k”:

Ejemplo 3 (obtenido del libro de Grossman):

• Si poseemos el vector renglón v1 (2, -1, 4) y el vector v2 (4, 1, 6), que forman al espacio vectorial H, es decir H = gen{v1,v2}, o bien, 

H = gen{(2,-1,4),(4,1,6)}, ¿Cuál es la apariencia de “H”?

• Para resolver la pregunta, primero seleccionamos un vector incógnita del espacio vectorial H, por ejemplo v = (x, y, z). 
• Ahora v debe formarse como combinación lineal de v1 (2, -1, 4) y del vector v2 (4, 1, 6), entonces: 

v = a₁v1 + a₂v2
(x, y, z) = a₁(2, -1, 4) + a₂(4, 1, 6)

• A partir de la ecuación:

(x, y, z) = a₁(2, -1, 4) + a₂(4, 1, 6)

• Obtenemos que:

• Resolvemos por Gauss – Jordan hasta obtener un renglón sólo con ceros:

• Es decir, el espacio vectorial H es la siguiente ecuación:

-5x/3 + 2y/3 + z = 0
O bien, -5x + 2y + 3z = 0

• Y su conjunto generador son el vector v1 (2, -1, 4) y el vector v2 (4, 1, 6)
• Es decir, cualquier conjunto de respuestas (vectores) que satisfaga la ecuación (espacio vectorial H) se puede formar con una combinación lineal de v1 y v2. 

NOTAS:

• El espacio vectorial R2 se refiere al espacio 2D para cualquier valor de X ó Y. 
• Todas las ecuaciones de recta que pasen por el origen son subespacios vectoriales de R2, es decir, R2 contiene a todas los espacios vectoriales de dos incógnitas. 
• El espacio vectorial R3  se refiere al espacio 3D, es decir, el que contiene todos los valores para X, Y ó Z.

Conclusión

Concluimos la sesión mencionando que: 

• Los vectores que forman a otros vectores de su mismo espacio vectorial mediante combinaciones lineales son conjuntos generadores. 

Has concluido la clase. ¡Muchas felicidades! Recuerda que estás por terminar este curso, que tu ánimo no decaiga continúa esforzándote. No olvides realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te espero en la próxima sesión, ¡hasta pronto!

Fuentes de información

• Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5^a ed.). México: McGraw-Hill.
• Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5^a ed.). México: Limusa Wiley.
• Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.