Bases
Introducción
¡Hola!
Es muy grato tenerte como estudiante en este curso, para mi es un gran honor encontrarme con personas tan disciplinadas y comprometidas con su educación como lo eres tú ¡Te felicito!
Volviendo al tema de las clases, te invito a proseguir con esta nueva sesión número 16 titulada Bases del curso Álgebra Lineal.
Para esta sesión será necesario recordar sobre los conceptos de dependencia o independencia lineal que vimos en el tema de combinaciones lineales, así como el de conjuntos generadores.
Veremos que una base nos permitirá definir un gran número de vectores dentro de un espacio vectorial y que a diferencia de un conjunto generador, estos son más limitados en número.
Dicho lo anterior, continuemos nuestra clase. ¡Ánimo!
Desarrollo del tema
Se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente, si ninguno de sus vectores se puede representar como combinación lineal de otro.
Las bases son conjuntos generadores, cuyos vectores son linealmente independientes.
Ejemplo:
- Siempre que tengamos tres vectores (3×1) linealmente independientes, obtendremos una BASE del espacio vectorial R3 (también dicho espacio R3).
- Siempre que tengamos DOS vectores (2×1) linealmente independientes, obtendremos una BASE del espacio vectorial R2 (también dicho espacio R2).
Subespacios vectoriales:
- Las ecuaciones de rectas que pasan por el origen (como x-y=0) son subespacios vectoriales de R2.
- Si observamos, tenemos 1 ecuación con 2 incógnitas, por lo que existen infinidad de soluciones.
- Sin embargo, las soluciones de X-Y = 0, no son de cualquier tipo, es decir, si asignamos el valor de X = 1, forzosamente, la Y vale 1; si X valiera 2, Y valdría 2; y así desde el menos infinito hasta el infinito positivo.
- Cada par de respuestas es un vector, por ejemplo: (1,1), (2,2), …
Conjunto generador:
- Para no tener que anotar TODAS las respuestas posibles de la ecuación X-Y=0, que llamaremos espacio vectorial H, donde sus soluciones son (-1,-1),…, (1,1), (2,2), …, observemos que podemos tomar un vector cualquiera como (1,1) y si ese lo multiplicamos por un escalar nos dará las otras respuestas de la ecuación.
- Por ello decimos que H = gen{(1,1)}, que sería igualmente válido a H = gen{(2, 2)} = gen{(3,3)}, etc. Es decir {(1,1)} es un conjunto generador de X-Y=0.
- Como en el espacio vectorial H, que es X-Y=0, no existe otra respuesta posible fuera de conjunto generador H=gen{(1,1)} (o sus equivalentes H=gen{(1,1)} = gen{(2,2)} = gen{(143,143)}, etc.), entonces se dice que (1,1) es su BASE.
Dimensión:
- Es el número de vectores que tiene una base.
Base canónica:
- Es una base cuadrada (mismo número de componentes y de vectores), que se puede arreglar como una matriz identidad.
- Es una base cuadrada (mismo número de componentes y de vectores), que se puede arreglar como una matriz identidad.
NOTAS:
- Si hay más vectores que el número de componentes de cada vector, entonces forzosamente el conjunto será linealmente dependiente y NO PUEDE SER BASE.
Si el número de vectores es igual que el número de componentes de cada vector, podemos obtener su determinante.
Conclusión
Para concluir la clase decimos que:
Las bases son conjuntos generadores, cuyos vectores son linealmente independientes.
Hemos llegado al final de la sesión y me parece que vas sobre pasos muy seguros hacia el éxito. ¡Te felicito! No olvides la tarea asignada a esta clase, recuerda que es tu evidencia de aprendizaje, mándala como corresponde. Nos encontramos en la siguiente clase.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.