Anualidades vencidas u ordinarias: Monto, valor actual, tasa y tiempo
Introducción
¡Hola admirable estudiante!
Me da mucho gusto saludarte en esta ocasión, que sin demeritar las anteriores, ya has avanzado mucho en este proceso formativo y eso es razón suficiente para pedirte que continúes con ese mismo ímpetu por aprender más. Te reitero mis felicitaciones y te doy la bienvenida a la última clase digital de esta UDA.
En la clase pasada de introducción a anualidades vencidas u ordinarias, comenzamos a estudiar desde la definición de anualidad o renta dentro de las matemáticas financieras, su clasificación y tipos de anualidades, hasta su enfoque en las más comunes que son las anualidades vencidas u ordinarias, también conocidas como anualidades ciertas vencidas simples. Recordemos que, dentro del interés simple y compuesto era de interés querer conocer el monto y valor actual, por lo que, dentro de las anualidades sucede lo mismo.
Monto de una anualidad
Para conocer el monto de una anualidad y definir la fórmula que nos ayudará a calcularlo de una manera más eficiente, será necesaria la deducción de esta fórmula y utilizar una vez más conocimientos como la fecha focal y, por consiguiente, la herramienta gráfica de tiempos y valores. Para deducir la formula, exploraremos una situación donde se desea conocer el monto de una anualidad y así, notar patrones y generalizar comportamientos, por ejemplo, de progresiones geométricas.
Deducción de la fórmula del monto de una anualidad
Sea una renta o anualidad de $1,000 al final de cada trimestre durante 18 meses, al 15% anual capitalizable trimestralmente.
Notemos que lo anterior es una anualidad vencida simple, ya que el depósito se realiza al final de cada periodo y coincide con el periodo de capitalización.
Denotaremos S, como el monto de la anualidad y, recordemos que, tomaremos como fecha focal cuando termina la anualidad, en este caso será 18 meses después del día 0.
El valor de nuestra tasa de interés ya capitalizada será:
Para calcular el valor del monto (S), utilizaremos ecuaciones de valor con interés compuesto. Como queremos calcular el monto, cada renta se calculará como monto hasta la fecha focal. Recordando la fórmula del monto en interés compuesto:
Desarrollo del tema
Durante la presentación del contenido, comenzamos con la deducción del monto de una anualidad mediante su cálculo con ecuaciones de valor. Como pudiste notar, este método es un poco tedioso y repetitivo, ya que lo único que cambiaba era el valor de n para la mayoría de las anualidades, y para la última esta no generaba ningún interés ya que coincidía con la fecha focal. ¿Qué pasaría si fueran 20 anualidades, o 50? Tratar de calcular el monto mediante ecuaciones de valor sería demasiado tardado y se prestaría a errores de cálculo ya que se tendrían que hacer muchas sumas y productos, por eso generalizaremos estos cálculos en una formula.
El cálculo del monto que se había obtenido era:
Es importante recordar que en ecuaciones de valor en interés compuesto, para la primera renta nuestro valor actual es $1,000, y los periodos que faltan para la fecha focal son 5, por lo tanto, n = 5. Para las siguientes rentas el cálculo de su monto es igual solo con el valor de n cambiante conforme a su posición en el tiempo. Otro punto a tomar en cuenta es que el exponente 1 se coloca con el fin de seguir la secuencia y de forma referencial, pero matemáticamente se podría quitar ya que no es necesario colocarlo y si lo dejamos sin exponente por deducción está elevado a la 1.
Los cálculos de S se pueden simplificar de la siguiente manera usando el factor común, en este caso $1,000.
Ordenando la expresión anterior de forma ascendente obtenemos:
Notemos que la expresión anterior es una progresión geométrica cuya razón es de 1.0375.
La fórmula general de una progresión o sucesión geométrica es la siguiente:
Adaptando la fórmula a nuestro caso obtenemos:
En el caso anterior, dejamos todas las decimales para comprobar el resultado comparándolo con el método de ecuaciones de valor y poder definir la fórmula para calcular el monto de una anualidad:
El valor del monto de la anualidad anterior es de $6,591.43. Por lo tanto, la fórmula para calcular el monto de una anualidad es:
Siendo:
S=Valor del monto
R=Valor de la renta o del depósito periódico
i= tasa de interés ya dividida entre m
n=total de periodos
Valor actual de una anualidad
Para calcular el valor actual de una anualidad, se debe tomar como fecha focal el inicio de la anualidad, y en lugar de calcular cada renta como monto, ahora se calculará a valor actual. Tomando como referencia el ejemplo anterior, nuestra gráfica de tiempos y valores sería:
Sea una renta o anualidad de $1,000 al final de cada trimestre durante 18 meses, al 15% anual capitalizable trimestralmente.
Denotaremos al valor actual de una anualidad como A. Recordando la fórmula del valor actual a interés compuesto obtenemos:
Por lo tanto, el valor de A mediante ecuaciones de valor será:
Reduciendo la expresión nuevamente mediante el factor común obtenemos:
Notemos que también se presenta una progresión geométrica, pero en este caso la razón 1.0375-1 es menor a 1. Cuando la razón de una progresión o sucesión geométrica sea menor a 1 o su exponente sea negativo, la formula será la siguiente:
Por lo tanto, el valor actual de la anualidad será:
Calculando el valor de la anualidad mediante ecuaciones de valor:
Podemos notar que, los resultados coinciden, por lo que la fórmula para calcular el valor actual de una anualidad es:
Siendo:
A= Valor actual de una anualidad
R=Valor de la renta o del depósito periódico
i= tasa de interés ya dividida entre m
n=total de periodos
Ejercicio 1. Calcula el monto y el valor actual de una anualidad de $6,500 por semestre durante 3 años, al 18% anual capitalizable semestralmente (anualidad vencida simple).
Solución.
El valor de n será:
El valor de i capitalizada semestralmente será:
El valor del monto de la anualidad será:
El valor actual de la anualidad será:
Con estos resultados podemos notar que, para el monto los intereses crecen en función del tiempo y se acumulan al capital, y para el valor actual, los intereses se aplican al saldo en cada periodo y la deuda decrece en función del tiempo.
Renta o anualidad
Si quisiéramos conocer el valor de un depósito mensual, semestral o que se realice cada cierto tiempo, podemos despejar R ya sea de la fórmula del monto del valor actual. El pago periódico o renta de una determinada cantidad, puede calcularse de la siguiente manera, solo se debe despejar de la fórmula:
Renta de una anualidad en función del Monto:
Renta de una anualidad en función del valor actual:
Las fórmulas anteriores se utilizan, por ejemplo, si se quiere conocer el valor de un depósito bimestral que una empresa debe hacer a una institución financiera que paga el 15% de interés anual capitalizable bimestralmente, a fin de obtener $10,000 en 3 años. Otra situación que podría presentarse es querer calcular el valor de una cuota mensual, que debe pagar un deudor por una deuda de $22,000 a 5 años de plazo, con una tasa de interés del 9% anual capitalizable mensualmente.
Generalmente, cuando se acumulan capitales o fondos se utiliza la formula del monto (S). Para el pago de una deuda se utiliza la formula del valor actual (A).
Cálculo del tiempo de una anualidad o periodos de pago (n)
Si queremos conocer el número de periodos de una anualidad o el tiempo total, también se pueden despejar de las fórmulas del monto y valor actual de una anualidad.
La fórmula para calcular el tiempo en función del monto de una anualidad sería la siguiente:
Y la fórmula para calcular el tiempo en función del valor actual de una anualidad es:
Cálculo de la tasa de interés (i)
El cálculo de la tasa de interés de una anualidad no es tan sencillo como en otras variables, igualmente, se puede calcular a partir del monto o valor actual, pero nunca se tendrá un valor exacto ya que se debe realizar interpolando tablas o por aproximaciones, dando diferentes valores a (i), prácticamente es por prueba y error.
Conclusión
El tema de anualidades es muy completo al igual que los temas de interés, y se basa en el uso del interés compuesto. Las anualidades o rentas son utilizadas con mucha frecuencia en operaciones financieras de endeudamiento y de formación de capitales, mediante cuotas periódicas o series de pagos o depósitos; es decir, sirven para formar capitales o para reducir deudas mediante cuotas periódicas. Son de mucha utilidad para la elaboración de tablas de amortización gradual, tablas de valor futuro, para el cálculo de cuotas periódicas, ya sea para cancelar una deuda o formar un capital.
Las anualidades o rentas se emplean en los cálculos de pólizas de seguros, cuotas de pago, cuotas de depósito, cálculo actuarial, compras a plazo, préstamos a largo plazo, préstamos hipotecarios y otros; por lo tanto, es importante analizarlas en el área financiera.
Durante estas últimas dos clases que abordó la cuarta unidad del curso de matemáticas financieras, se estudió lo básico y esencial sobre anualidades.
Cuando se estudian anualidades, igual que en interés simple y compuesto, forma parte de la labor de estudio querer conocer el monto, valor actual, tasa y tiempo. Como pudiste notar, a lo largo del curso las fórmulas las deducíamos con el motivo de comprender su origen, por qué se planteaban de esa manera y entender qué se calcula en cada ejercicio, para su respectiva reflexión y comprensión, y no solo realizar el cálculo. En el tema de anualidades se aplica lo aprendido anteriormente como es el interés compuesto y ahora se combinan las temáticas de esta unidad con la teoría y aplicación de interés compuesto, siendo importante que se hayan comprendido los temas anteriores para facilitar la aplicación y comprensión de estos temas.
Puede resultar tedioso trabajar con tantas fórmulas dentro de las matemáticas financieras, por lo cual, se recomienda ampliamente realizar un formulario y explicar brevemente en qué situaciones se aplicará cada una de ellas.
Podemos concluir que, cuando se trabaje con anualidades vencidas u ordinarias, la mayoría de los cálculos tendrán su base en función del monto o valor actual, y dependiendo del contexto y datos conocidos, se elegirá la fórmula correcta a utilizar para conocer el dato incógnita, como podría ser el valor de la renta o el número de periodos. Por último, querer calcular la tasa de interés ya sea en función del monto o valor actual la situación se complica un poco, ya que despejar la fórmula directamente de manera matemática se dificulta, aunque con el apoyo de una calculadora financiera o en Excel se puede solucionar.
Asimismo, el aprendizaje de las matemáticas financieras es fundamental para cualquier programa educativo, ya que todos de manera personal o a nivel empresarial, acudimos a las matemáticas financieras en algún momento para la certera toma de decisiones.
¡Has llegado al final de la última clase del curso, muchas felicidades! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido tus expectativas y encuentres satisfacción en los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. Recuerda que la próxima clase es para realizar el proyecto.
Para concluir de forma correcta, te invito a realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te encuentro en el proyecto, ¡hasta pronto!
Fuentes de información
- Tus clases de finanzas (2022). ANUALIDADES VENCIDAS u ORDINARIAS. Valor PRESENTE de una Anualidad. Fórmulas y Ejercicios. https://youtu.be/oWd-KFo-bho
- Tus clases de finanzas (2022). ANUALIDADES VENCIDAS u ORDINARIAS. Valor FUTURO de una Anualidad. Fórmulas y Ejercicios. https://youtu.be/M7PKpZlb0_A
- Mora, A. & Zambrano, V. H. P. (2009). Matemáticas financieras. Alpha Editorial. p. 193-206