Núcleo e imagen
Introducción
¡Hola!
Espero que te encuentres gozando de una salud impecable y sobre todo mantengas tu buen ánimo para continuar con tu última clase del curso a la cual se le ha llamado Núcleo e imagen del curso de Álgebra Lineal.
Una vez que hemos estudiado las transformaciones lineales, es el momento de que conozcas algunas propiedades básicas de las mismas: núcleo e imagen.
Espero que disfrutes tu última sesión. ¡Mucho éxito!
Desarrollo del tema
La imagen de una transformación lineal (im T) se denota con la siguiente fórmula:
- Esto significa que: la imagen es el conjunto de vectores (w) que pertenecen a un espacio vectorial (W); donde cada uno de ellos es igual a la transformación lineal de un vector (v) que pertenece a otro espacio vectorial (V).
Núcleo
- El núcleo es una transformación lineal (nu t) se denota con la siguiente fórmula:
- Por lo tanto, el núcleo es el conjunto de vectores de un espacio vectorial, tal que sus transformaciones lineales sean igual a cero.
Ejemplo:
- Poseemos la siguiente transformación lineal:
- Se llama también operador de proyección de R3 en plano xy.
- Para obtener la imagen tenemos que encontrar vectores que sean iguales en ambos lados de la transformación:
- En este caso, cualquier vector que tenga z= 0 dejará ambos vectores (v1, v2) iguales.
- Por lo tanto, la imagen del operador de proyección del espacio R3 en el plano xy equivale al conjunto de vectores X, Y, Z, tal que Z valga cero.
- Para obtener el núcleo requerimos igualar a cero el resultado:
- Vemos que z puede tener cualquier valor, pero X y Y deben valer 0 para satisfacer la transformación a cero. Entonces el núcleo se representa así: nu T = {(x,y,z): x=y=0, z que pertenece a R}
El núcleo del operador de proyección del espacio R3 en el plano xy equivale al conjunto de vectores X, Y, Z, tal que X valga cero, Y valga cero y Z tenga cualquier valor.
- La nulidad y el rango corresponden a la dimensión del núcleo y de la imagen respectivamente:
- Del mismo ejemplo:
Conclusión
Para concluir la clase repasemos lo siguiente: hemos visto que la imagen es el conjunto de vectores (w) que pertenecen a un espacio vectorial (W), donde cada uno de ellos es igual a la transformación lineal de un vector (v) que pertenece a otro espacio vectorial (V).
Asimismo, el núcleo es el conjunto de vectores de un espacio vectorial, tal que sus transformaciones lineales sean igual a cero.
¡Has concluido la última clase del curso! ¡Muchas felicidades! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y encuentres satisfacción con los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión del curso. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.