Operaciones con fracciones algebraicas
Introducción
¡Hola!, es un gusto que sigas acompañándome en este curso de Álgebra II al cual te doy la bienvenida, en esta segunda sesión veremos el tema del bloque I titulado “Operaciones de fracciones algebraicas”. Reforzaremos el concepto de una fracción algebraica y sus elementos. Teniendo los fundamentos claves, realizaremos operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas. Posteriormente pasaremos las fracciones complejas.
En relación a lo anterior, te invito a continuar con el tema.
Desarrollo del tema
Operaciones con fracciones algebraicas
1.1 Producto de fracciones algebraicas
El producto de números racionales o de fracciones algebraicas es el cociente del producto de los numeradores entre el producto de los denominadores.
Si los numeradores y denominadores son monomios se desarrollan los productos de los numeradores y los denominadores, luego se procede a reducir la fracción resultante.
Ejemplo:
Los coeficientes 140 y 105 se reducen al dividirlos entre 35 que es su máximo común divisor, mientras que la reducción de literales es por medio de propiedades de exponentes.
También, se pueden reducir los coeficientes y las literales y después desarrollar los productos.
Ejemplo:
Si se tienen potencias en los numeradores y/o los denominadores, primero se desarrollan las potencias, después se desarrollan los productos y luego la reducción.
Ejemplo:
Si los numeradores y/o los denominadores no son monomios, primero se factorizan los numeradores y los denominadores y luego se procede a reducirlos.
Ejemplos:
Ahora, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle cómo multiplicar fracciones racionales.
- Multiplicar y dividir expresiones racionales: más de una variable.
- Multiplicar expresiones racionales.
1.2 División de fracciones algebraicas
La división de dos números racionales o de dos fracciones algebraicas es el cociente del producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción, entre el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción.
Si los numeradores y denominadores de las fracciones algebraicas son monomios se desarrollan los productos (numerador por denominador entre denominador por numerador), y después se realiza la reducción.
Ejemplos:
Si los numeradores o denominadores de las fracciones algebraicas no son monomios, es conveniente factorizar los numeradores y denominadores, luego realizar los productos (numerador por denominador entre denominador por numerador) y después reducir (eliminando los factores iguales) la fracción resultante.
Ejemplos:
Ahora, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo dividir fracciones racionales.
1.3 Suma de fracciones algebraicas
Se distinguen dos casos en la suma de fracciones algebraicas: fracciones con igual denominador y fracciones con distinto denominador.
La suma de fracciones algebraicas que tienen igual denominador es la suma de los numeradores entre el mismo denominador. A continuación, se presentan los siguientes ejemplos:
El denominador de la segunda fracción tiene signos contrarios al de los otros dos denominadores. Para que los denominadores sean idénticos, se puede cambiar el signo del numerador y los signos del denominador de la segunda fracción.
Para sumar fracciones algebraicas que tienen distinto denominador, se utiliza el procedimiento correspondiente de la suma de quebrados de distinto denominador, el cual se describe a continuación:
- Determina el denominador común de los denominadores (mínimo común múltiplo de los denominadores).
- Genera una fracción que tenga como denominador el denominador común, y por numerador la suma de los productos de cada numerador por el respectivo cociente del denominador común entre cada denominador.
- De ser posible, reduce la fracción generada en el paso anterior.
Analiza el desarrollo de la suma de fracciones de distinto denominador con los siguientes ejemplos:
- El denominador común de los denominadores 3, x y 3x es 3x.
- Genera una fracción que tenga como denominador el denominador común 3x y como numerador la suma de productos del numerador 5 por el cociente de 3x entre 3, el numerador 1 – x por el cociente de 3x entre x, y así sucesivamente.
- No tiene reducción la fracción generada en el paso anterior.
- El denominador común de los denominadores h, h2 y h3 es h3. Cuando los denominadores son potencias de una misma base, el denominador común es la base con mayor exponente.
- Genera una fracción que tenga como denominador el denominador común h3 y como numerador la suma de productos del numerador 1 por el cociente de h3 entre h, el numerador 3 + h por el cociente de h3 entre h2, y así sucesivamente.
- No tiene reducción la fracción generada en el paso anterior.
- El denominador común de los denominadores (b + 1) y (b + 1)2 es (b + 1)2
- Genera una fracción que tenga como denominador el denominador común (b + 1)2 y como numerador la suma de productos del numerador 3 por el cociente de (b + 1)2 entre b + 1, y el numerador 2 – b por el cociente de (b + 1)2 entre (b + 1)2.
- No tiene reducción la fracción generada en el paso anterior.
- El denominador común de los denominadores es (x + 1)(x – 3)(x + 4). Cuando los denominadores son productos de binomios, el denominador común es el producto de estos binomios sin repetir ninguno de ellos.
- Genera una fracción que tenga como denominador el denominador común (x + 1)(x – 3)(x + 4) y como numerador la suma de productos del numerador x por el cociente de (x + 1)(x – 3)(x + 4) entre (x + 1)(x – 3), el numerador 1 por el cociente de (x + 1)(x – 3)(x + 4) entre (x – 3)(x + 4) y así, sucesivamente.
- No tiene reducción la fracción generada en el paso anterior. Si los denominadores son binomios, trinomios o polinomios, primero se factorizan los denominadores; y el denominador común es el producto de los factores sin repetir ninguno de ellos, como en el ejemplo anterior.
En este ejercicio la fracción que resulta del proceso tiene reducción.
En este ejercicio la fracción que resulta del proceso tiene reducción.
Ahora, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle cómo sumar fracciones racionales.
- Sumar y restar expresiones racionales: denominadores semejantes.
- Restar expresiones racionales: denominadores diferentes.
1.4 Fracciones complejas
Una fracción compleja es una fracción en la que en el numerador o en el denominador existen operaciones de números racionales o de fracciones algebraicas.
Para simplificar una fracción compleja, primero se desarrollan las operaciones que hay en el numerador o en el denominador; una vez que se tiene solamente una fracción tanto en el numerador como en el denominador se procede a desarrollar el producto de extremos entre el producto de medios.
Ejemplos:
La reducción de esta fracción compleja se lleva a cabo de la siguiente manera:
Identifica que en el numerador hay una suma, para desarrollar esta suma primero se reduce la fracción mediante el producto de extremos entre el producto de medios, el denominador 2 se divide entre 1, para mostrar cuales son los extremos y los medios, respectivamente:
En el denominador hay una suma que puede desarrollarse:
La siguiente operación a desarrollar es la suma que hay en el numerador:
Se reduce la fracción que está en el denominador mediante el producto de extremos entre el producto de medios:
La siguiente operación a desarrollar es la resta que hay en el denominador:
Se desarrolla el producto de extremos entre el producto de medios y se eliminan factores iguales:
Identifica que en el numerador como en el denominador hay restas, su desarrollo se muestra a continuación:
Ahora, se realiza el producto de extremos entre el producto de medios:
Por último, se factorizan los trinomios y se suprimen los factores iguales.
Identifica que en el denominador hay varias restas, primero se desarrolla la resta de la parte inferior:
Ahora, se realiza el producto de extremos entre el producto de medios, dividiendo x2 + 2 entre 1, para identificar cuales son los extremos y los medios:
Por último, se desarrolla la resta del denominador:
Conclusión
En resumen, en esta clase aprendiste a realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de fracciones algebraicas y fracciones complejas.
Es importante que cuando realices operaciones con fracciones algebraicas, domines el conocimiento previo de factorización de expresiones algebraicas; ya que, al realizar operaciones, primeramente se factorizan éstas completamente.
Es así como llegamos al final de la segunda clase y por lo que a mi respecta vas muy bien, recuerda hacer la tarea asignada y enviarla como corresponde. Te espero en la clase siguiente donde aprenderás un tema relevante para tu educación, hasta luego.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 5, pp. 332-334.
- Gobran, A. (1990). Álgebra Elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Cap. 7, pp. 227-234.