Aplicación de propiedades de exponentes
fraccionarios y radicales
Introducción
¡Hola! ¿Cómo estás el día de hoy? Espero que goces de una salud impecable pues tu bienestar es importante para cumplir con todas tus actividades, y hablando de actividades, te doy la bienvenida a esta tercera clase del curso de Álgebra II que tiene por nombre «Aplicación de propiedades de exponentes fraccionarios y radicales». De manera inicial, recordaremos la aplicación de las leyes de los exponentes enteros, realizaremos una analogía con exponentes fraccionarios; una vez comprendido simplificaremos expresiones algebraicas con exponentes enteros y fraccionarios.
Posteriormente abordaremos el concepto de un radical y sus elementos para la reducción y simplificación de expresiones algebraicas con radicales.
Una vez que ya vimos de qué tratará el tema, te invito a dar inicio a la clase.
Desarrollo del tema
Una de las operaciones básicas en matemáticas es la potencia. Cuando escribimos 23 estamos representando de forma abreviada la multiplicación 23 = 2• 2• 2 = 8. De igual manera con z5 nos referimos a la multiplicación de z por sí mismo cinco veces. Es decir z5 = z • z • z • z • z.
Recuerda que las partes de cada término algebraico son las que se muestran en el siguiente esquema:
Los exponentes también se conocen como potencias, se procesan de acuerdo con la operación en la que están indicados. A esto se le conoce como leyes o propiedades de exponentes.
1.1 Propiedades de exponentes
1.1.1. Producto de potencias de igual base bx, by = bx+y
Esta propiedad establece que el producto de potencias de igual base es la base elevada a la suma de los exponentes. El error que no debes cometer cuando apliques esta propiedad es multiplicar las bases o los exponentes. Los siguientes ejemplos te ilustran la aplicación de esta propiedad de los exponentes.
1.1.2. Potencia de un monomio (am. bx)y = am.y bx.y
La segunda propiedad de los exponentes corresponde a la potencia de un monomio, la cual dice que cada elemento del monomio se eleva al producto de los exponentes. Los siguientes ejemplos muestran la aplicación de esta propiedad de los exponentes.
Para el caso de un binomio, se aplican productos notables o el teorema del binomio.
1.1.3. División de potencias de igual base
La tercera propiedad de los exponentes es la división de potencias de igual base, y establece que la base se eleva al exponente del numerador menos el exponente del denominador. Al aplicar esta propiedad debes tener cuidado si el exponente del denominador es negativo. Los siguientes ejemplos muestran la aplicación de esta propiedad de los exponentes.
1.1.4. Exponente cero b0 = 1
La cuarta propiedad corresponde al exponente cero y establece que una base (diferente de cero) con exponente cero es uno. Esta propiedad se presenta en la división de potencias de igual base con exponentes iguales. Cuando apliques esta propiedad el error que no debes cometer es considerar que el resultado es cero. Los siguientes ejemplos muestran la aplicación de esta propiedad de los exponentes.
1.1.5 Exponente negativo
La quinta propiedad de los exponentes es la del exponente negativo, y establece que una base con exponente negativo es una fracción con numerador uno, y una base con exponente positivo es el denominador. El error que no debes cometer cuando apliques esta propiedad es multiplicar la base por el exponente. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de esta propiedad de los exponentes.
1.1.6. Potencia de una fracción
La sexta propiedad de los exponentes corresponde a la potencia de una fracción, y establece que se eleva numerador y denominador al exponente. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de esta propiedad de los exponentes.
1.1.7. Exponente fraccionario
El exponente fraccionario se puede identificar como la operación inversa de una potencia, es decir, una raíz. Para que comprendas esto, considera las potencias 92 y 9 1/2.
La potencia 92 la desarrollas como (9)(9), por lo que 92 = 81.
Así, esta propiedad establece que una base con exponente fraccionario es un radical cuyo índice es el denominador del exponente y el radicando es la base elevada al numerador del exponente; y viceversa (un radical es el radicando elevado a un exponente fraccionario cuyo numerador es el exponente del radicando, y como denominador es el índice de la raíz). Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de la propiedad del exponente fraccionario.
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo convertir de exponente fraccionario a radical y viceversa.
1.2. Radicales
Un radical es cualquier número de la forman n√a. En general, es toda raíz indicada de una cantidad. Se define como:
n√a = b, si y solo si bn = a,
La raíz cuadrada de un número a es otro número b que elevado al cuadrado nos da el primero. Por lo tanto:
- Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas.
- Los números negativos no tienen raíz cuadrada.
- La obtención de la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado.
√49 = √72 = 7 (√5)2 = 5
La raíz cúbica de un número a es otro número b que elevado al cubo nos da el primero.
- Todo número positivo tiene una raíz cúbica única.
- Los números negativos sí tienen raíz cúbica.
- La obtención de una raíz cúbica es la operación inversa de elevar al cubo.
Por lo tanto, la raíz n-ésima de un número real a es otro número b que elevado a la n nos da el primero.
n√a = b
Los elementos de un radical n√a son: coeficiente, radicando e índice u orden del radical. El número que está dentro del radical, la literal a, se llama radicando. Al número que indica la raíz, la literal n, se le denomina orden o índice. El número que se antepone al radical es el coeficiente. Aquí te presentamos algunos ejemplos:
| Radical | Coeficiente | Radicando | Índice u orden |
|---|---|---|---|
| 5√a | 5 | a | 2 |
| 3√5yz | 1 | 5yz | 3 |
| -45√x3z | -4 | x3z | 5 |
Las raíces que no son perfectas (exactas), como por ejemplo √2, 4√5 son números irracionales.
Un número irracional es aquel que no puede expresarse de la forma:
donde p, q | ∈ conjunto de números enteros, q ≠ 0. Recuerda que el índice de un radical siempre es número natural mayor que uno.
2.1 Propiedades de radicales
2.1.1. Raíz de una raíz
La primera propiedad de los radicales involucra la raíz de una raíz y establece que esta operación tiene por resultado una raíz de índice igual al producto de los índices. Los siguientes ejemplos ilustran esta propiedad.
2.1.2. Potencia de un radical
La segunda propiedad de los radicales corresponde a la potencia de un radical, y dice que el resultado es el radical con su índice y su radicando elevado al producto de los exponentes, o también es el radicando elevado al exponente entre el índice. Los siguientes ejemplos muestran cómo tienes que aplicar esta propiedad, y los contraejemplos los errores que no debes cometer.
2.1.3 Producto de radicales de igual índice
La tercera propiedad contempla el producto de radicales de igual índice y establece que el resultado es otro radical del mismo índice que contiene el producto de los radicandos y viceversa, esto es, si en un radical el radicando es un producto, entonces el radical equivale a un producto de radicales. Esta última consideración se utiliza en la suma de radicales. Los siguientes ejemplos ilustran esta propiedad, y los contraejemplos los errores que no debes cometer.
2.1.4. Producto de dos radicales de distinto índice
La cuarta propiedad incluye el producto de dos radicales de distinto índice y establece que el resultado es otro radical de índice igual al producto de los índices y como radicando el producto del primer radicando elevado al índice del segundo radical, por el segundo radicando elevado al índice del primer radical. Los siguientes ejemplos ilustran esta propiedad.
2.1.5. División de dos radicales de igual índice
Esta propiedad comprende la división de dos radicales de igual índice y afirma que el cociente de dos radicales de igual índice es otro radical del mismo índice que contiene el cociente de los radicandos y viceversa, es decir, si el radicando es una fracción, entonces el radical es equivalente a una división de dos radicales. Los siguientes ejemplos ilustran esta propiedad, y los contraejemplos los errores que no debes cometer.
2.1.6. Introducir un término a un radical
La sexta propiedad permite introducir un término a un radical, y establece que el término se eleva al índice del radical. Los siguientes ejemplos ilustran esta propiedad, y los contraejemplos los errores que no debes cometer.
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle las propiedades de los radicales.
Conclusión
Para concluir, es importante señalar que las leyes de los exponentes se aplican tanto para exponentes enteros como fraccionarios y su comprensión te sirve para simplificar expresiones algebraicas y sus operaciones.
Como puedes observar la operación contraria de la potenciación es la radicación, para lo cual es importante saber aplicar las propiedades de los exponentes y de los radicales.
Los exponentes están presentes en los modelos matemáticos asociados con áreas del conocimiento como, biología, economía, geología; así como en leyes de la Física y Química, entre otros.
Un ejemplo clásico es la reproducción de bacterias, las cuales se multiplican muy rápidamente. Para este tipo de situaciones se puede ocupar una progresión geométrica, la cual podemos modelar y comparar con una función potencia.
Otro ejemplo, son las situaciones financieras que involucran el interés compuesto, que para poder modelarlo se ocupa la función potencia y sus traslaciones.
Llegamos al final de nuestra tercera clase. ¡Te felicito por tu logro! Vas por buen camino. Para concretar esta sesión, no olvides hacer y mandar la tarea asignada. Te encuentro en tu cuarta clase donde estudiarás un tema de vital importancia para tu desarrollo académico.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 5, pp. 332-334.
- Gobran, A. (1990). Álgebra Elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Cap. 7, pp. 227-234.