Operaciones de radicales
Introducción
Sé bienvenida (o) al cuarto tema del bloque II titulado “Operaciones de radicales” del curso de Álgebra II. En esta sesión reforzaremos el concepto de radical y sus elementos. Teniendo los fundamentos claves, realizaremos operaciones de simplificación, suma, resta, multiplicación y racionalización de raíces. Posteriormente analizaremos el concepto de un número imaginario y complejo.
El radical es el símbolo que aparece por primera vez en 1525, cuando Christoff Rudolff, matemático alemán hace uso del símbolo √ para referirse al símbolo de la raíz cuadrada en su libro de texto sobre álgebra en alemán, titulado “Coss”. Para el año de 1637, el célebre matemático, físico y filósofo francés Descartes hace uso del símbolo √ y añade una barra superior en la geometría. Otros autores han señalado que se trata de la alteración de la letra r en minúscula y que tiene por objeto el representar a la palabra latina radix, que significa raíz.
Ahora que conocemos lo anterior, te invito a empezar la clase.
Desarrollo del tema
1. Operaciones de radicales
1.1 Reducción de radicales
En la reducción de radicales utiliza la propiedad del producto de radicales de igual índice:
para que el radicando lo descompongas en factores. En la reducción de radicales se presentan varios casos:
Primer caso: La raíz es exacta. Este caso es el más simple ya que basta que obtengas la raíz de cada término del radicando, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos.
Segundo caso: La raíz no es exacta: Este caso es más laborioso porque es necesario que factorices el radicando, de modo que uno de los factores tenga raíz exacta. Si el radicando es un número natural, determina los factores primos del número y después selecciona los factores iguales de acuerdo con el índice de la raíz. Por ejemplo, analiza la reducción de √250 :
Los factores primos de 250 son:
Como el índice de la raíz es 2, selecciona dos factores iguales, de modo que
√250 = √25. √10 = 5.√10
Como segundo ejemplo analiza la reducción de 3√375
Los factores primos de 375 son:
Como el índice de la raíz es 3, selecciona tres factores iguales, de modo que:
Si el radicando es una literal, separa el exponente de la literal en dos sumandos de manera que uno de los sumandos sea el mayor número divisible entre el índice.
Analiza los siguientes ejemplos.
- El exponente 14 sepáralo en los sumandos 10 y 4, porque 10 es el mayor número divisible entre 5.
- Porque 12 es el mayor número divisible entre 3.
- Porque 12 es el mayor número divisible entre 6.
Ahora si el radicando es un monomio, factoriza tanto el coeficiente como la (s) literal (es), de tal modo que existan factores con raíz exacta.
Si el radicando no es un monomio, utiliza métodos de factorización tal y como se muestra en el siguiente ejemplo.
Como siguiente actividad, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle la reducción de radicales.
1.2 Suma de radicales
En la suma de radicales se presentan los siguientes casos:
Primer caso: la suma contiene raíces exactas.
En esta situación extrae la raíz y después efectúa la suma tal y como lo ilustran los siguientes ejemplos:
Segundo caso: la suma contiene radicales semejantes.
En este caso se aplica la propiedad distributiva y después efectúa la suma. Los siguientes ejemplos muestran este caso:
Tercer caso: la suma no contiene radicales semejantes.
Primero aplica la reducción de radicales y después efectúa la suma tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle la suma de los radicales.
1.3. Producto de radicales
El producto de radicales se desarrolla aplicando las propiedades de producto de radicales de igual índice:
Los siguientes ejemplos ilustran el desarrollo del producto de radicales:
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle el producto de los radicales.
1.4. Potencia de radicales
La potencia de radicales más común es el cuadrado de un binomio que contiene radicales, por lo cual es necesario que recuerdes cómo se aplica la regla del cuadrado de un binomio, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
1.5 División de radicales
La división de radicales se desarrolla aplicando las propiedades de división de radicales de igual índice:
Se presentan varios casos en esta operación, los cuales se describen a continuación:
Primer caso: División de radicales con raíces exactas. En este caso, primero extrae la raíz del dividendo y del divisor, y después efectúa la división, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
Segundo caso: División de radicales de igual índice con raíces no – exactas reducibles.
Para este caso, primero reduce los coeficientes y las potencias de las literales y después reduce los radicales.
1.6 Racionalización
La racionalización se presenta en la división de radicales que no son reducibles y en la transformación del resultado de una operación que queda como una fracción cuyo denominador es un radical. El objetivo de la racionalización es que el denominador (divisor) no contenga radicales, los casos de racionalización que se presentan son los siguientes:
Primer caso: el denominador es un monomio.
Para racionalizar el denominador de una fracción cuyo denominador es un monomio que tiene un radical, es necesario que multipliques y dividas la fracción por un radical de igual índice al del denominador y con un radicando que al multiplicarlo por el radicando de la fracción de como resultado un término con raíz exacta. Los siguientes ejemplos muestran este procedimiento:
Segundo caso: el denominador es un binomio con radicales de índice 2.
Cuando el denominador es un binomio que contiene raíces cuadradas, es necesario que multipliques y dividas por el conjugado del denominador. Los siguientes ejemplos muestran este procedimiento.
2. Número imaginario y complejo
2.1 Definición y notación del número imaginario
El número imaginario «i» surge de la necesidad de interpretar la raíz cuadrada de números negativos, estas raíces se presentan con frecuencia en la solución de ecuaciones de segundo grado.
El número imaginario se define como la raíz cuadrada de – 1, su notación es i = √−1 .
Los siguientes ejemplos involucran raíces cuadradas de números negativos y su reducción.
2.2 Operaciones con números imaginarios
Con los números imaginarios se pueden desarrollar operaciones de suma, producto, división y potencia, tal y como se presentan a continuación.
2.2.1 Suma de números imaginarios
La suma de números imaginarios la puedes realizar aplicando el principio de la suma de términos semejantes, es decir, solo suma los coeficientes.
2.2.2 Potencias de números imaginarios
Las potencias de números imaginarios tienen como fundamento de que i√ -1, entonces:
Si realizas más potencias puedes llegar a la siguiente conclusión: todas las potencias del número imaginario tienen por resultado i , −1, −i, ó 1. A continuación, se tienen las siguientes propiedades de las potencias del número imaginario i:
Primera propiedad: La potencia in = 1, si «n» es múltiplo de 4.
Analiza los siguientes ejemplos que involucran esta propiedad:
Segunda propiedad: La potencia in = −1, si «n» es múltiplo de 2 pero no de 4.
Analiza los siguientes ejemplos que involucran esta propiedad:
Tercera propiedad: La potencian in+1=1, si «n» es múltiplo de 4.
Analiza los siguientes ejemplos que involucran esta propiedad:
Cuarta propiedad: La potencian in+1 =-1, si «n» es múltiplo de 2 pero no de 4.
Analiza los siguientes ejemplos que involucran esta propiedad:
2.2.3 Productos de números imaginarios
El producto de números imaginarios lo desarrollarás de acuerdo a los procedimientos de la multiplicación algebraica, las propiedades de exponentes y las potencias de los números imaginarios, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
2.2.4 División de números imaginarios
La división de números imaginarios requiere que utilices las propiedades de los exponentes, los valores de las potencias de los números imaginarios y los procedimientos de racionalización. Los siguientes ejemplos muestran varios casos de la división de números imaginarios.
Primer caso: Número imaginario entre número real
Este el caso más simple, para desarrollar esta división solo sustituye el valor de la potencia del número imaginario y luego reduce la fracción, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos.
Segundo caso: Número real entre número imaginario
Primero sustituye el valor de la potencia del número imaginario; si el resultado de la potencia es «1»ó » 1″ − , sustituye este valor y reduce la fracción, pero si el resultado de la potencia es «i» ó «1» − i, multiplica numerador y numerador por el número imaginario «i», vuelve a sustituir el valor de la potencia del número imaginario y reduce la fracción, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos.
Tercer caso: Número imaginario entre número imaginario
En este caso aplica la propiedad de exponentes, luego sustituye el valor de la potencia del número imaginario y por último reduce la fracción, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos.
2.3 Definición y notación del número complejo
La suma de un número real con un número imaginario recibe el nombre de número complejo, de modo que el conjunto de números complejos es:
2.4 Operaciones de números complejos
Al igual que con los números reales y números imaginarios, los números complejos admiten las operaciones de suma, producto, división, potencia y raíz, tal y como se presenta a continuación.
2.4.1 Suma de números complejos
La suma de números complejos la puedes llevar a cabo aplicando los principios de la suma algebraica, es decir, suprime los signos de agrupación y después aplica la suma de términos semejantes, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
2.4.2. Producto de números complejos
Un producto de números complejos lo desarrollarás por medio de los procedimientos de la multiplicación algebraica. Utiliza los valores de las potencias de números imaginarios, y después reduce los términos semejantes, tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
2.4.3 Potencia de números complejos
En las potencias de números complejos utiliza las reglas de los productos notables, específicamente del cuadrado y cubo de un binomio, tal y como se muestra a continuación:
2.4.4 División de números complejos
La división de números complejos se basa en las técnicas de racionalización, un número complejo es un binomio que tiene un número real y un número imaginario. Por tal motivo, una división de números complejos la puedes desarrollar multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador, tal y como se muestra a continuación:
2.4.5 Valor absoluto de números
El valor absoluto de un número complejo es la distancia del origen al punto asociado con el número complejo en el plano complejo. La fórmula es:
Así como existe el plano real, también existe el plano complejo. El plano complejo (Diagrama de Argand) contiene al conjunto de puntos (a,b) donde a R εy b i ε, esto es, a es un número real y b es un número imaginario.
En el plano complejo, el eje horizontal corresponde a los números reales, mientras que el eje vertical a los números imaginarios, tal y como se muestra en la siguiente figura.
A continuación, ejemplos del valor absoluto |a+bi| = √a2+b2 de números complejos:
Como siguiente actividad, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle el concepto y las operaciones de número complejo.
Conclusión
En conclusión, expresar en forma estándar un radical, te facilita la realización de operaciones con radicales. Para lo cual debes recordar que el radicando sea positivo, el índice el menor posible, el exponente de cada factor del radicando menor que el índice del radical y sin radicales en el denominador.
Una de las aplicaciones en la vida cotidiana se encuentra en la obtención de la desviación estándar de un estudio estadístico. La desviación es una medida de dispersión de un conjunto de datos y se define como la raíz cuadrada de la varianza. Es decir, representa cómo se comportan los datos más alejados con respecto a la media aritmética. Para de esa forma poder tomar decisiones de diferentes casos de estudio.
Una contextualización de los números complejos es en el área de la Física. En Aerodinámica, para hallar la cantidad de velocidad de una corriente, también en los Circuitos Eléctricos ya que su principal base son los números complejos, por lo tanto, cualquier aparato de circuito eléctrico (amplificadores, filtros, motores) requiere el conocimiento de ellos. Otra aplicación es en Señales Electrónicas, ya que al igual que los circuitos eléctricos, su principal base son los números complejos. Y en la Teoría del Big Bang: se trabaja la magnitud tiempo, con base a los números complejos.
En la Construcción de fractales, los números complejos tienen relación directa con la medicina, ya que se usa la dimensión fractal para diagnosticar ciertas enfermedades de los huesos.
Hemos llegado al final de la cuarta clase y como puedes observar, sigues avanzando formidablemente. Recuerda que la clave del éxito es la perseverancia, por lo tanto te aconsejo que sigas perseverando en tu educación. Para concluir adecuadamente la clase te recuerdo hacer y mandar la tarea asignada, te espero en la quinta sesión, hasta entonces.
Fuentes de información
- Baldor, A. (2017). Álgebra. (3a ed.). México: Grupo Editorial Patria. Cap. XXXI, pp. 418-434, 437-443
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 10, pp. 454-474, 478-489
- Gobran, A. (1990). Álgebra Elemental. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Cap. 7, pp. 365-384
- Introducción a las Matemáticas: Ejercicios y problemas.
- Potencias y radicales.