Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado
Introducción
¡Hola! Es un enorme gusto encontrarte nuevamente en este proceso formativo, espero sigas atento a toda la información que se muestra en las clases pues son muy importantes para tu educación, por lo tanto te doy la bienvenida a la quinta clase del curso de Álgebra II titulada “Métodos de solución de ecuaciones de segundo grado”.
Iniciaremos la clase con el concepto de ecuación y su clasificación. Teniendo los fundamentos claves, resolveremos ecuaciones de segundo grado seleccionando alguno de los tres métodos: fórmula general, factorización o completando el trinomio cuadrado perfecto.
De acuerdo a lo anterior, empecemos nuestro trabajo.
Desarrollo del tema
Una ecuación de segundo grado, llamada también cuadrática, es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2.
Una ecuación de la forma ax2+bx+c=0 donde a,b,c ∈ R y a, ≠ 0, es una ecuación de segundo grado; al término ax2 se le llama cuadrático, a bx lineal, c el término independiente.
Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en ecuaciones completas e incompletas.
- Completas: Es aquella ecuación que tiene término cuadrático, lineal e independiente. En general toda ecuación de ese tipo es de la forma:
ax2+bx+c=0
5x2+4x+1=0 - Incompletas: Son ecuaciones que carecen del término lineal o del término independiente.
– Ecuación cuadrática pura. Es aquella ecuación cuadrática que carece del término lineal, en general toda ecuación de ese tipo es de la forma
ax2+c=0
5x2-10=0
– Ecuación cuadrática mixta. Es aquella ecuación cuadrática que carece del término independiente, en general toda ecuación de este tipo tiene la forma:
ax2 +bx=0
4x2+16x=0
Las ecuaciones de segundo grado tienen a lo sumo dos soluciones, también se denominan raíces.
1.1. Solución de la ecuación cuadrática pura ax2+c=0
La solución de la ecuación cuadrática pura ax2+c=0, la puedes obtener si aplicas la propiedad multiplicativa para despejar la variable «x» ; o también si utilizas la factorización de diferencia de cuadrados.
Los siguientes ejemplos muestran estos métodos de solución:
Desarrolla la solución de la ecuación 5x2-9=0:
Primero aplica la propiedad aditiva para despejar la constante de la ecuación
5x2=9
Luego, aplica la propiedad multiplicativa para despejar la variable:
Por último, aplica la propiedad de la igualdad (ejecutar una misma operación en ambos miembros de la ecuación) para extraer la raíz cuadrada.
De manera análoga, desarrolla la solución de la ecuación x2 + 100 = 0
Primero despeja la constante: x2 -100
Luego extrae raíz cuadrada:
Otro método de solución de la ecuación cuadrática pura ax2+c=0 es por medio de la factorización de diferencia de cuadrados, tal y como se muestra a continuación:
Desarrolla la solución de la ecuación 9x2-25 =0 por factorización.
Recuerda que una diferencia de cuadrados es el resultado de multiplicar dos binomios conjugados (binomios que son diferentes en un signo).
De modo que si aplicas la factorización de diferencia de cuadrados a 9x2-25=0
Obtienes que (3x-5)(3x+5) = 0
Ahora bien, si una multiplicación es cero, entonces uno o todos los factores son cero. Teniendo como fundamento esta premisa, iguala a cero cada factor
3x-5 = 0, 3x+5 = 0
Por último, por medio de la propiedad multiplicativa despeja la variable en cada factor:
De 3x-5 = 0 despeja la variable «x»
por consiguiente x = 5/3
De 3x+5 = 0 despeja la variable «x»
por lo tanto x= -5/3
1.2. Solución de la ecuación cuadrática mixta ax2 + bx = 0
La solución de la ecuación cuadrática mixta ax2+bx = 0 a puedes obtener por medio de la factorización por factor común, recuerda que el factor común de un polinomio es el máximo común divisor de los términos del polinomio. A continuación, se muestra la solución de este tipo de ecuación:
Asimila la solución de la ecuación cuadrática mixta 3x2 – 7x = 0
Primero, identifica que el factor común de la ecuación es «x»
Por lo que su factorización es x(3x – 7) = 0
Luego, iguala a cero cada factor: x = 0, 3x-7 = 0
Por último, despeja la variable en cada factor: x = 0, x = 7/3.
1.3. Solución de la ecuación ax2 +bx + c = 0 por factorización
La solución de la ecuación de segundo grado ax2 +bx + c = 0, puede obtenerse por factorización del trinomio ax2 + +bx c tal y como se muestra en los siguientes ejemplos:
Recuerda que el trinomio ax2 + +bx c puede factorizarse como (mx + p)(nx + q) si:
Factorizas ax2 =(mx)(nx)
Factorizas c= (p)(q)
Compruebas que (mx)(q)+(nx)(p) =bx
Los siguientes ejemplos muestran este método de solución:
- Analiza la solución de la ecuación x2 − 5x + 6 = 0 por factorización:
Factorización de x2 = (x)(x)
Factorización de 6=(-2)(-3)
Comprobación de que (x)(-3)+(x)(-2) = -5x
Por lo tanto, la factorización de la ecuación x2-5x+6=0 es (x-2)(x-3)=0
Luego, iguala a cero cada factor: x − 2 = 0, x − 3 = 0
Por último, despeja la variable «x» en cada factor: x = 2, x=3.
- Analiza la solución de la ecuación x2 − 3x − 28 = 0 por factorización:
Factorización de x2 = (x)(x)
Factorización de −28 = (-7)(4)
Comprobación de que (x)(4)+(x)(−7) = -3x
La factorización de la ecuación x2 −3x-28=0 es (x−7)(x+4) = 0
Iguala a cero cada uno de los factores: x−7 = 0, x+4 = 0
Despeja la variable «x» en cada factor: x = 7, x =−4
- Analiza la solución de la ecuación 5x2 − x − 6 = 0 por factorización:
Factorización de 5x2 = (5x)(x)
Factorización de −6 =(-6)(1)
Comprobación de que (5x)(1)+(x)(−6) = -x
Luego la factorización de la ecuación 5x2 −x-6=0 es (5x-6)(x+1)=0
Iguala a cero los factores: 5x −6 = 0, x + 1= 0
Despeja la variable «x»: x= 6 / 5, x=−1
- Analiza la solución de la ecuación 121x2 −110x + 9 = 0 por factorización:
Factorización de 121x2 = (11x)(11x)
Factorización de 9=(-1)(-9)
Comprobación de que (11x)(−9)+(11x)(−1) =-110x
Luego la factorización de la ecuación 121x2 −110x + 9 = 0 es (11x-1)(11x-9) =0
Iguala a cero los factores: 11x −1=0, 11x − 9= 0
Despeja de la variable «x»: x = 1/11, x = 9/11
Como siguiente actividad, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica las ecuaciones cuadráticas por método de factorización.
Resolver cuadráticas por factorización.
1.4. Solución de la ecuación ax2 +bx + c = 0 por el método de completar cuadros
El método consiste en transformar la ecuación ax2 +bx + c = 0 en un trinomio cuadrado perfecto, esto es, un trinomio con dos términos cuadráticos y un término que sean el doble producto de los términos. Este método se desarrolla bajo los siguientes pasos:
Como ejemplo, analiza la solución de la ecuación 5x2 + 6x −8 = 0 por el método de completar cuadrados
Paso 1: Divide los términos de la ecuación entre el coeficiente de x2, en este caso entre 5.
Paso 2: Despeja el término constante de la ecuación, en este caso – 8/5.
Paso 3: Divide el coeficiente de «x» entre 2, luego eleva al cuadrado este cociente y lo sumas en ambos miembros de la ecuación:
Suma 9/25 en ambos miembros de la ecuación.
Desarrolla la suma de fracciones que están en el lado derecho de la ecuación.
Paso 4: El trinomio.
es cuadrado perfecto y su factorización es:
Paso 5: Extrae la raíz cuadrada en ambos miembros y despeja la variable «x»:
Paso 6: Llegas a la solución:
Como segundo ejemplo, analiza la solución de 9x2 − 2x +1= 0:
Paso 1: Divide los términos de la ecuación entre el coeficiente de x2, en este caso entre 9.
Paso 2: Despeja el término constante de la ecuación, en este caso 1/9.
Paso 3: Divide el coeficiente de «x» entre 2, luego eleva al cuadrado este cociente y lo sumas en ambos miembros de la ecuación:
El cuadrado de este cociente es:
Suma 1/18 en ambos miembros de la ecuación:
Desarrolla la suma de fracciones que están en el lado derecho de la ecuación:
Paso 4: El trinomio.
Es cuadrado perfecto y su factorización es:
Paso 5: Extrae la raíz cuadrada en ambos miembros y despeja la variable «x»:
Por lo tanto, la solución es:
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica las ecuaciones cuadráticas por el método de completar el Trinomio Cuadrado Perfecto.
1.5. Solución de la ecuación ax2 +bx + c = 0 por fórmula general
Para llegar a la fórmula general, aplica el método de completar cuadrados en la solución de la ecuación ax2 +bx + c = 0
Paso 1: Divide los términos de la ecuación entre el coeficiente del término x2, en este caso entre a.
Paso 2: Despeja el término constante de la ecuación, en este: c/a.
Paso 3: Divide el coeficiente de «x» entre 2, luego eleva al cuadrado este cociente y lo sumas en ambos miembros de la ecuación:
El coeficiente de «x» entre 2 es:
El cuadrado de este cociente es:
Suma.
en ambos miembros de la ecuación.
Desarrolla la suma de fracciones que están en el lado derecho de la ecuación.
Paso 4: El trinomio.
es cuadrado perfecto y su factorización es:
Paso 5: Extrae la raíz cuadrada en ambos miembros y despeja la variable «x»:
Por lo tanto, la solución es:
Dando origen a la fórmula general:
1.5.1. Discriminante de la ecuación de segundo grado ax2 +bx + c = 0
En la fórmula general, el radicando b2 − 4.a.c se denomina discriminante de la ecuación, su valor determina si la ecuación tiene solo una solución, y si la solución es real o compleja.
Si b2 − 4. .ac = 0 la ecuación tiene una solución real única (la solución es un número real).
Si b2 − 4.a.c > 0 la ecuación tiene más de una solución real (la solución son números reales).
Si b2 − 4.a.c < 0 la ecuación tiene solución compleja (la solución son números complejos).
A continuación, se presentan varios ejemplos del uso del discriminante b2 − 4.a.c .
Como primer ejemplo, verifica si la ecuación tiene solución real 5x2 − 2x −1= 0
Primero identifica los coeficientes de los términos de la ecuación: a = 5, b =−2, c =−1
Luego aplica la propiedad de sustitución en el discriminante b2 − 4.a.c:
Concluye que como 24 > 0, la ecuación tiene solución real.
Como segundo ejemplo, verifica si la ecuación.
Luego aplica la propiedad de sustitución en el discriminante b2 − 4.a.c:
Concluye que como:
la ecuación tiene solución real.
1.5.2. Fórmula general
Cuando apliques la fórmula general:
es necesario que ordenes con respecto a «x» la ecuación, esto es, que tenga la presentación ax2 +bx + c = 0. A continuación, se muestra la aplicación de la fórmula general:
Como primer ejemplo, analiza la solución de la ecuación 2x2 + 2x + 5 = 0
Primero identifica que en la ecuación: a = 2, b = 2, c = 5
Luego aplica la propiedad de sustitución en la fórmula general:
Y llega a la solución:
Como tercer ejemplo, resuelve por fórmula general la ecuación 2.i.x2 + 3x + 5.i = 0.
Primero identifica que en la ecuación: a = 2.i, b = 3, c = 5.i
Como siguiente actividad, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica las ecuaciones cuadráticas por el método de fórmula general.
Conclusión
En conclusión, las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios y la ingeniería. La gráfica de una ecuación cuadrática en un plano cartesiano nos da como resultado la parábola, donde la intersección con el eje “x” representa la solución. Esta sección cónica con forma de U puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botar de una pelota; graficar el curso de objetos en movimiento, o pueden ser incorporadas en estructuras como reflectores parabólicos que forman la base de los platos satelitales o faros de los carros.
Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos (maximizar ganancias y minimizar costos en un proyecto).
Muchos de los objetos que usamos hoy en día, desde los automóviles hasta los relojes, no existirían si alguien, en alguna parte, no hubiera aplicado una ecuación cuadrática para su diseño.
Llegamos al final de la clase, ¡Te felicito por tu buen desempeño! Te recuerdo que para dar pleno cierre a esta clase, realices y mandes la tarea asignada. Te encuentro en la sexta sesión, hasta pronto.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 10, pp. 454-474, 497-511
- Baldor, A. (2017). Álgebra. (3a ed.). México: Grupo Editorial Patria. Cap. XXXIII, pp. 446-459
- Alberro, A., Benjumeda, F., & García, R. (2013). Matemáticas 1. México: SM. Pp. 207-230
- Araya, J. A., Murillo, M., & Soto, A. (2000). Matemática básica con aplicaciones. Costa Rica: EUNED. Cap. 2, pp. 62-65