Ecuaciones fraccionarias,
ecuaciones con radicales e inecuaciones
Introducción
Bienvenido (a) al sexto tema titulado “Ecuaciones fraccionarias y ecuaciones con radicales que originan una ecuación de segundo grado”. Iniciaremos la clase con los conceptos de fracción y radical. Teniendo los fundamentos claves, mostraremos el procedimiento paso a paso para encontrar sus raíces.
Recuerda que una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas en las que intervienen uno o varios valores desconocidos, o incógnitas, y solo es verdadera para ciertos valores de las incógnitas.
Lo primero que hay que saber es que toda ecuación algebraica de grado n con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Este enunciado es el Teorema Fundamental del álgebra.
D’Alembert fue el primer matemático que dio una demostración, pero no era completa. Se considera a Gauss como el primer matemático que brindó una demostración rigurosa.
Desarrollo del tema
1.1. ECUACIONES CON RADICALES
Una ecuación con radicales es aquella en la que alguna incógnita aparece en el radicando de un radical. Por ejemplo:
Para resolver ecuaciones con radicales se despeja uno de los radicales aislándolo en un miembro de la ecuación (en caso de que sea necesario); a continuación, se eleva ambos miembros de la ecuación a una potencia igual al índice del radical, lo que permitirá que desaparezca el radical despejado. Este proceso se repite hasta que se hayan eliminado todos los radicales presentes y entonces se resuelva la ecuación final que resulta.
Al resolver la ecuación final, se debe verificar que las raíces no sean extrañas con respecto a la ecuación original, pues como se recordará, la elevación de ambos miembros de una ecuación a una misma potencia no siempre da como resultado una ecuación equivalente a la inicial,
Analiza los siguientes ejemplos de ecuaciones con radicales.
Primer ejemplo:
Aplica una de las propiedades de la igualdad para elevar al cuadrado el primer miembro y el segundo miembro de la ecuación:
Ahora desarrolla las operaciones: potencia de un radical y la regla del cuadrado de un binomio.
x + 2 = x2 -8x + 16
Aplica la propiedad aditiva de la igualdad para que agrupes los términos en un solo lado de la ecuación:
0 = x2 – 8x + 16 – x 2
Reduce los términos semejantes y ordena la ecuación en forma decreciente:
0 = x2 – 9x + 14
Aplica la factorización de trinomios o la fórmula general para resolver la ecuación:
(x – 2) (x – 7) = 0
Se obtienen las soluciones:
x – 2 = 0
x = 2
X – 7 = 0
x = 7
De las dos soluciones sólo x = 7 satisface la ecuación:
ya que si sustituyes x = 7 en la ecuación, se verifica que
por lo que 9 = 3
Mientras que x = 2 no satisface la ecuación
Porque si sustituyes x = 2 en la ecuación, se obtiene que
como
X = 2 no satisface la ecuación. Por consiguiente, el conjunto solución es: {2}
Como segundo ejemplo analiza la solución de la ecuación
Antes de elevar al cuadrado, es conveniente que apliques la propiedad aditiva de la igualdad para dejar uno de los radicales en un lado de la ecuación. Este paso reduce el proceso de solución, tal y como se muestra a continuación.
Primero aplica la propiedad aditiva de la igualdad para pasar el radical
al otro miembro de la igualdad.
Ahora eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Desarrolla las operaciones (potencia de un radical y cuadrado de un binomio)
De nuevo, aplica la propiedad aditiva de la igualdad para que dejes el término con radical
en un miembro de la ecuación.
Reduce los términos semejantes
Vuelve a elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Desarrolla las operaciones (cuadrado de un monomio)
1 = 4. x
Aplica la propiedad aditiva de la igualdad para despejar la variable
Si sustituyes en la ecuación
en la ecuación
obtienes que:
Como
Por lo que
no es solución y por lo tanto solución es
Como tercer ejemplo analiza la solución de la ecuación
Aplica una de las propiedades de la igualdad para elevar al cuadrado el primer miembro y el segundo miembro de la ecuación:
Desarrolla las operaciones (cuadrado de un binomio y de un radical)
Aplica la propiedad aditiva para despejar el término
que tiene radical
Reduce los términos semejantes
Eleva al cuadrado ambos miembros de la ecuación
Agrupa los términos en un solo lado de la ecuación
x2 – x – 12 -x2 -2x – 1 = 0
Suma los términos semejantes y ordena la ecuación
– 3x – 13 = 0
Despeja la variable
Comprueba si
es solución de la ecuación. Te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle el procedimiento para resolver ecuaciones con radicales.
- Resolver ecuaciones con raíces cuadradas: una solución
- Resolver ecuaciones con raíces cuadradas: dos soluciones
- Resolver ecuaciones con raíces cuadradas: sin solución
1.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS DE SEGUNDO GRADO.
La ecuación fraccionaria de segundo grado la puedes resolver mediante el siguiente procedimiento:
- Primero determina el denominador común.
- Luego, por medio de la propiedad multiplicativa, multiplica cada término de la ecuación por el denominador común.
- Después, desarrolla las operaciones que resultan.
- Por último, mediante la propiedad aditiva, agrupa los términos en un solo lado de la ecuación y aplica la fórmula general o la factorización.
Como ilustración de este procedimiento, asimila la solución de la ecuación
Primero determina el denominador común. El denominador común de x y 4 es 4x; y la solución no puede ser x = 0, porque no existe la división entre cero.
Luego, por medio de la propiedad multiplicativa, multiplica por 4x cada término de la ecuación:
Mediante esta operación elimina los denominadores 4(2 – x) – x (x) = 4x. Ahora desarrolla las operaciones:
8 – 4x – x2 = 4x
Por último, mediante la propiedad aditiva, agrupa los términos en el primer miembro (lado izquierdo) de la ecuación:
8 – 4x – x2 – 4x = 0
Reduce los términos semejantes y ordena los términos de la ecuación:
-x2 – 8x + 8 = 0
Si utilizas la fórmula general
Es necesario que identifiques que: a = -1, b= -8. c = 8
Mediante la propiedad de sustitución:
Concluye que la solución es
Como segundo ejemplo, analiza la solución de la ecuación
Primero determina el denominador común x( 1 + x), y la solución no puede ser x = 0 ni x = – 1, porque no existe la división entre cero. Luego, por medio de la propiedad multiplicativa, multiplica por x (1 + x) la ecuación:
Mediante esta operación elimina los denominadores: (1+x)(1 – x) = x(4) -2.x (1 +x). Ahora desarrolla de las operaciones: 1 – x2 = 4x – 2x – 2x2
Por último, mediante la propiedad aditiva, agrupa los términos en el primer miembro (lado izquierdo) de la ecuación:
1 – x2 = -4x + 2x + 2x2 = 0
Reduce los términos semejantes y ordena la ecuación: x2 + 2x + 1 = 0
Y concluye que solución es: x = 1
Como tercer ejemplo, analiza la solución de la ecuación
Primero determina el denominador común
El denominador común es (x + 2)(x – 1) (x + 3), y la solución no puede ser x = -2. x = 1, y x = -3, porque no existe la división entre cero. Luego, por medio de la propiedad multiplicativa, multiplica por (x + 2)(x – 1)(x + 3) la ecuación:
Mediante esta operación elimina los denominadores:
(x – 1)(x + 3)(2) = (x + 2) (x + 3)(1) – (x + 2)(x -1) (1)
Ahora desarrolla las operaciones:
(x2 + 2x – 3)(2) = (x2 + 5x + 6)(1) – (x2 + x – 2)(1)
2x2 +4x – 6 = x2 + 5x + 6 – x2 – x +2
Por último, mediante la propiedad aditiva, agrupa los términos en el primer miembro (lado izquierdo) de la ecuación:
2x2 + 4x – 6 – x2 -5x – 6 + x2 +x -2 =0
Reduce los términos semejantes y ordena los términos:
2x2 – 14 = 0
Como es una ecuación cuadrática pura de la forma ax2 + c = 0, despeja la variable:
Y concluye que la solución es
Como cuarto ejemplo, analiza la solución de la ecuación
Primero determina el denominador común
El denominador común es (x + 2)(x + 1)(x -4), y la solución no puede ser x = -2, x = 4, y x= 1, porque no existe la división entre cero. Luego, por medio de la propiedad multiplicativa, multiplica por (x + 2)(x +1) (x – 4) la ecuación:
Mediante esta operación elimina los denominadores:
(x – 4)(x) = (x + 2)(2) – (x + 1) (1)
Ahora desarrolla las operaciones:
x2 -4x = 2x + 4 – x – 1
Por último, mediante la propiedad aditiva, agrupa los términos en el primer miembro (lado izquierdo) de la ecuación:
x2 – 4x + 2x + 4 + x + 1 = 0
Reduce los términos semejantes y ordena los términos de la ecuación:
x2 – 5x – 3 = 0
Si utilizas la fórmula general
Primero identifica que: a = 1, b = -5, c = -3
Luego aplica la propiedad de sustitución
Y concluye que la solución es
Como último ejemplo analiza la solución de la ecuación
Primero factorizar los denominadores para que determines el denominador común:
Después determina el denominador común (x + 2)(x – 2)(x – 3), y la solución no puede ser x = 12, x = 2, y x = 3, porque no existe la división entre cero.
Aplica la propiedad multiplicativa y multiplica por (x + 2)(x – 2)(x -3) la ecuación:
Por medio de esta operación elimina los denominadores: (x – 3)(x) = (x + 2)(2) – (x – 2)(1)
Desarrolla las operaciones: x2 – 3x – 2x – 4 + x – 2 = 0
Reduce los términos semejantes y ordena la ecuación: X2 – 4x – 6 = 0
Si utilizas la fórmula general
Identifica que: a = 1, b= -4, c = -6
Aplica la propiedad de sustitución
Y concluir que la solución es
Conclusión
Una serie de problemas del mundo real pueden ser modelados con ecuaciones radicales. Cuando nos encontramos con un problema donde una variable aparece dentro de un radical, elevamos ambos lados a la misma potencia para eliminar el radical, y luego resolvemos la variable.
En el estudio de la geometría analítica, específicamente en el tema “distancia entre dos puntos” se presentan ecuaciones con raíces cuadradas, su solución consiste en transformar la ecuación original en una ecuación equivalente sin radicales. Para lograr esto, es necesario que apliques las propiedades de la igualdad para elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación, así como el cuadrado de un binomio y el procedimiento de solución de ecuaciones.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 12, pp. 497 a 511
- Araya, J. A., Murillo, M., & Soto, A. (2000). Matemática básica con aplicaciones. Costa Rica: EUNED. Cap. 2, pp. 62-65
- Baldor, A. (2017). Álgebra. (3a ed.). México: Grupo Editorial Patria. Cap. XXXIII, pp. 446-459
- Alberro, A., Benjumeda, F., & García, R. (2013). Matemáticas 1. México: SM. Cap. 9, pp. 207-230