Métodos de solución de sistemas de
ecuaciones lineales con dos variables
Introducción
¡Hola! Es muy grato saber que continuas en este camino de descubrimiento académico, te doy la bienvenida a la séptima clase denominada “Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con dos variables”. Estudiamos los principales métodos algebraicos de solución, con todos los detalles técnicos; relacionamos la geometría de los sistemas de ecuaciones y la naturaleza de sus soluciones. Y por último, asociamos con la modelación algebraica y la resolución de problemas.
De acuerdo a lo anterior, empecemos la clase.
Desarrollo del tema
Una ecuación lineal es aquella cuya variable o incógnitas, tiene como máximo exponente 1, y se les llama lineales por la razón de que al graficar o representarlas en un plano cartesiano generan líneas rectas. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen como conjunto solución todos los pares ordenados (x, y), que satisfacen la ecuación, donde x y y son números reales.
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones en el que hay dos o más variables. En forma general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables se representa de la siguiente manera:
donde a11, a12, a21, a22 son los coeficientes de las variables, mientras que x1, x2 son las variables y b1, b2 son las constantes del sistema.
La solución de un sistema de ecuaciones la puedes obtener por algunos de los siguientes métodos:
1.1. Método gráfico
Este método tiene limitaciones cuando la solución no es entera o cuando la escala de los ejes son valores muy pequeños o grandes, mostrando la solución del sistema en forma aproximada.
La ecuación lineal con dos variables ax + by = c tiene por lugar geométrico (gráfica) una línea recta. Para trazar la gráfica de la ecuación ax+by=c procede de la siguiente manera:
- Asigna tres valores a la variable «x».
- Sustituye estos valores en la ecuación y calcula los valores de la variable «y».
- Forma las parejas (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) con los valores que asignaste a «x» y los valores que obtuviste de «y».
- Gráfica estas parejas en el sistema coordenado rectangular, si no hay error en los cálculos, los puntos asociados con estas parejas son colineales (están sobre una recta).
Al concluir el trazo de las gráficas de las ecuaciones se presenta uno de los siguientes casos:
- Las rectas se intersectan en un punto, este punto es la solución del sistema y el sistema tiene solución única.
- Las rectas no se intersectan, la gráfica son dos rectas paralelas, el sistema no tiene solución o el conjunto vacío Ø es la solución.
- Las rectas coinciden en todos sus puntos, el sistema tiene solución múltiple o solución infinita, de modo que todos los puntos de las rectas son solución.
Ejemplo: Analiza la aplicación del método gráfico en la solución del sistema de ecuaciones.
x−y=3
x+y= 7
Sustituye los valores x=−2, x=0, x=3 en la ecuación x− y= 3.
Forma las parejas con los valores asignados y obtenidos (−2, −5), (0, −3) , (3, 0) .
Ahora sustituye los valores x=0, x=2 , x=4 en la ecuación x+ y= 7.
Las parejas que se forman son (0, 7), (2, 5), (4, 3).
La grafica de estos puntos muestran las dos rectas y el punto de intersección (5, 2) es la solución del sistema.
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico.
1.2. Método de sustitución
En este método utiliza la propiedad aditiva, multiplicativa y de sustitución, el procedimiento consiste en que despejes una de las variables de una de las ecuaciones y sustituyas dicha variable en la otra ecuación.
Como primer ejemplo, aplica el método de sustitución en el sistema de ecuaciones.
x− 2y = 1
x – y = 3
De la ecuación x− 2y = 1 despeja la variable «x»: x=1 + 2y
Luego, sustituye esta variable en la otra ecuación:
1+2y − y = 3
Reduce términos semejantes
1+ y = 3
Despeja la variable «y».
y = 3 – 1
Concluye que la solución para la variable «y» es y = 2
Luego sustituye el valor de la variable y = 2 en la ecuación x +1 = 2y:
x= 1 + 2y
x= 1 + 2(2)
x= 1 + 4
Concluye que la solución es para la variable «x» es x=5
x=5
Y que el conjunto solución del sistema es: {(5, 2)}
Como segundo ejemplo, aplica el método de sustitución en el sistema de ecuaciones.
x + y + 1 = 0
6y – x = 7
De la ecuación x + y + 1 = 0 despeja la variable «x»: x = -1 – y
Luego sustituye esta variable en la otra ecuación y desarrolla operaciones:
6y-(-1-y) 7
6y + 1+ y = 7
Reduce los términos semejantes
7y + 1 = 7
Despeja la variable «y»
7y = 7 – 1
7y = 6
Concluye que la solución para la variable «y» es:
Ahora sustituye el valor de la variable:
En la ecuación x = -1 -y
Concluye que la solución para la variable «x» es:
Y que el conjunto solución del sistema:
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones por el método sustitución.
1.3. Método de igualación
En este método aplica la propiedad multiplicativa, aditiva, transitiva y de sustitución, el método se basa en que despejes la misma variable en cada una de las ecuaciones, y luego iguale ambos despejes.
Como primer ejemplo, analiza la aplicación del método de igualación en la solución del sistema de ecuaciones.
x− 2y = 1
x − y = 3
De la ecuación x − 2y = 1, aplica la propiedad aditiva para que despejes la variable «x»
x= 1 + 2y
Aplica la propiedad aditiva para que despejes la variable «x» de la ecuación x − y = 3
x= 3 + y
Luego, aplica la propiedad transitiva 1 + 2y = 3 + y
Mediante la propiedad aditiva agrupa los términos de la variable «y» en un lado de la ecuación
2y – y = 3 – 1
Concluye que la solución para la variable «y» es y = 2
Por medio de la propiedad de sustitución, sustituye el valor de la variable y = 2 en la ecuación x= 1 + 2y.
X = 1 + 2y
x = 1 + 2(2)
Concluye que la solución para la variable «x» es x=5
Y que el conjunto solución del sistema es: {(5, 2)}
Como segundo ejemplo: asimila el proceso de solución por el método de igualación del sistema de ecuaciones lineales.
Como las ecuaciones tienen fracciones en sus términos, aplica la propiedad multiplicativa para que multipliques por el denominador común:
Determina que los denominadores comunes son 10 y 6, respectivamente. Por lo tanto, multiplica por 10 y 6 las ecuaciones.
Elimina los denominadores y desarrolla operaciones:
Por medio de la propiedad aditiva despeja la misma variable.
Despeja la variable «x» de la ecuación:
Despeja la variable «x» de la ecuación x−3y = 20: x= 20 + 3y
Luego, aplica la propiedad transitiva:
Ahora aplica la propiedad multiplicativa para que despejes el denominador
80 − y = 17( 20 + 3y)
Desarrolla las operaciones existentes: 80 − y = 340 + 51y
Mediante la propiedad aditiva agrupa los términos de la variable «y» en un lado de la ecuación y reduce los términos semejantes:
− y – 51y = 340 – 80
−52y= 260
Concluye que la solución para la variable «y» es y=−5
Por medio de la propiedad de sustitución, sustituye el valor de la variable y = −5 en la ecuación x= 20 + 3y.
x= 20 + 3y
x= 20 + 3( -5)
Concluye que la solución para la variable «x» es x=5
Y que el conjunto solución del sistema es {(5, -5)}
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones por el método igualación.
1.4. Método de eliminación (suma o resta).
Este método es el que se utiliza con mayor frecuencia, cuando lo selecciones, aplica la propiedad multiplicativa y aditiva, con la finalidad que sumes o restes las ecuaciones de modo que anules una de las variables, para lograr esto, es necesario que multipliques las ecuaciones por números que hagan posible la anulación de una de las variables.
Como primer ejemplo: analiza la aplicación del método de suma o resta en el sistema de ecuaciones.
x− 2y = 1
3x − y = 8
Si quieres eliminar la variable «x», aplica la propiedad multiplicativa para que multipliques la primera ecuación por el coeficiente de la variable «x» de la segunda ecuación, en este caso por 3. Mientras, que la segunda ecuación la multiplicas por el coeficiente de la variable «x» de la primera ecuación, o sea por 1. Como los coeficientes de la variable «x» son positivos, es necesario que multipliques por -3 o por -1.
(3)(x – 2y = 1)
(-1)(3x – y = 8)
Desarrolla las multiplicaciones
3x−6y = 3
−3x + y = -8
Mediante la propiedad aditiva, desarrolla la suma de las ecuaciones, y concluye que se elimina la variable «x»
Concluye que la solución para la variable «y» es y= 5
Por medio de la propiedad de sustitución, sustituye el valor de la variable y= 5 en la ecuación x−2y = 1:
x – 2y = 1
x – 2(5) = 1
Concluye que la solución para la variable «x» es x=11
Y que el conjunto solución del sistema es: {(11,5)}
Como segundo ejemplo, analiza la aplicación del método de suma o resta en el sistema de ecuaciones.
Si quieres eliminar la variable «x», aplica la propiedad multiplicativa para que multipliques la primera ecuación por el coeficiente de la variable «x» de la segunda ecuación, en este caso por 4. Mientras, que la segunda ecuación la multiplicas por el coeficiente de la variable «x» de la primera ecuación, o sea por 3. Como los coeficientes de la variable «x» son positivos, es necesario que multipliques por -3 o por -4.
Desarrolla las multiplicaciones:
Mediante la propiedad aditiva, desarrolla la suma de las ecuaciones, y concluye que se elimina la variable «x».
Mediante la propiedad multiplicativa, despeja la variable «y»: -5 = 5y
Concluye que la solución para la variable «y» es y=−1
Por medio de la propiedad de sustitución, sustituye el valor de la variable y=−1 en la ecuación.
Mediante la propiedad aditiva, despeja el término
de la ecuación.
Desarrolla la suma de números:
Mediante la propiedad multiplicativa, despeja la variable «x»: 6 = −3x
Concluye que la solución para la variable «x» es x=−2
Y que el conjunto solución del sistema es: {(-2, -1)}
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones por el método suma y resta.
1.5. Método de determinantes
Para una mejor comprensión de este método es conveniente mencionar brevemente dos conceptos que están incluidos en el estudio de las matemáticas: “matrices y determinantes”.
1.5.1 Matrices
Una matriz es un conjunto de números reales que se caracteriza por que sus elementos están escritos en renglones y columnas. La notación para las matrices es por medio de paréntesis oblicuos o por medio de corchetes.
Como ilustración, considera el sistema de ecuaciones:
3x – 2y = -6
4x – y =2
Con los coeficientes de las variables y las constantes de las ecuaciones puedes formar varias matrices:
La dimensión o tamaño de una matriz se determina como el número de renglones por el número de columna, por lo que las tres primeras matrices son de tamaño (2×2), la cuarta es (2×1) y la última de (2×3).
1.5.2 Determinantes
Un determinante se define como el número real que está asociado con una matriz cuadrada. El símbolo que identifica al determinante es el signo de valor absoluto.
es una matriz cuadrada de (2 x 2) mientras que
Es un determinante de segundo orden.
Valor de un determinante de segundo orden.
Es la diferencia del producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
Identifica en el siguiente determinante que los elementos de la diagonal principal son los números 3 y -1; mientras que los elementos de la diagonal secundaria son los números -2 y 4. De modo, que multiplica elementos de la diagonal principal y resta el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
1.5.3 Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales puedes resolverlo mediante determinantes por el método conocido como “Regla de Cramer”; la limitante de este método es que el número de ecuaciones sea igual que el número de variables.
Como primer ejemplo, analiza la solución por medio de determinantes del sistema de ecuaciones.
3x−2y=−6
4x−y= 2
Primero, con los coeficientes de las variables forma el determinante de los coeficientes el cual se representa por Δ.
*Si Δ=0 el sistema no tiene solución*
Luego, reemplaza los coeficientes de la variable «x» por las constantes de la ecuación en el determinante de los coeficientes y genera el determinante Δx.
De manera similar, forma el determinante Δy si reemplazas los coeficientes de «y» por las constantes de la ecuación.
Mediante la propiedad de sustitución, sustituye el valor de Δ=5 , tanto en Δx como en Δy :
Δx=10 Δy=30
5x=10 5y=30
x=2 y=6
Concluye que la solución del sistema es x = 2, y = 6 ó {(2,6)}
Como segundo ejemplo: analiza la aplicación de la Regla de Cramer en la solución del sistema de ecuaciones.
3x – 4y = 1
2x – 5y = 0
Forma el determinante de los coeficientes Δ:
Ahora, forma el determinante Δx:
También, forma el determinante Δy:
Mediante la propiedad de sustitución, sustituye el valor de Δ=−7, tanto en Δx como en Δy:
Concluye que la solución del sistema es:
Como siguiente actividad, te invito a analizar el siguiente video en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones por determinantes.
Como última actividad de la clase, te invito a analizar los siguientes videos en donde se visualiza la aplicación en la vida cotidiana de los sistemas de ecuaciones.
Conclusión
En conclusión, la aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales es muy utilizada en todas las ramas de la ciencia para el modelado de fenómenos cotidianos. Un ejemplo es la programación lineal, que se sigue usando en campos de economía, negocios, administración pública, industria, sociología e ingeniería. Muchas empresas y gobiernos utilizan con buenos resultados sus métodos y técnicas para mejorar la toma de decisiones.
Una aplicación específica de los sistemas de ecuaciones lineales en la rama de la economía es en el estudio de los modelos de mercado de renta nacional. Se trata de la descripción matemática del comportamiento de la renta de un país. Las variables que se involucran en el modelo son generalmente de carácter macroeconómico (renta del país, impuestos, gasto público, etc.), y están relacionadas en forma lineal. Se trata de modelos de extrema sencillez que, aun cuando resultan escuetos para describir un comportamiento tan sofisticado como el que describe la renta de un país, tienen mucho interés pedagógico como un primer paso para acercarse al estudio de modelos más elaborados. Por ejemplo, en varias ocasiones las soluciones de estos modelos estáticos en los que no aparece dependencia temporal surgen como los valores límite de las soluciones de modelos dinámicos, es decir, de aquéllos en cuya formulación se considera la variable tiempo.
Has llegado al final de la clase ¡Muchas felicidades por tu logro! Ya falta poco para concluir este curso. Recuerda hacer la tarea asignada y enviarla como corresponde, te estaré esperando en la siguiente clase, hasta luego.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 8, pp. 394-412
- Baldor, A. (2017). Álgebra. (3a ed.). México: Grupo Editorial Patria. Cap. XXXIV, pp. 319-339
- Sánchez, F., Villanueva, R., & Lugo, J. (2012). Álgebra II. México: Ediciones Anglo. Cap. 2, pp. 140-146