Métodos de solución de sistemas de
ecuaciones lineales con tres variables
Introducción
¡Hola! Te doy la bienvenida a tu octava clase del curso Álgebra II denominada “Métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales con tres variables”. En esta clase continuamos con el estudio del sistema de ecuaciones lineales. Primero veremos las técnicas de resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Y posteriormente, las situaciones que se representan con un sistema 3 X 3.
El estudio de la teoría de matrices y determinantes se desarrolló, en su mayoría, en el siglo XIX. Sin embargo, las primeras nociones aparecieron alrededor del año 150 d. de C; los chinos emplearon matrices en la solución de sistemas de ecuaciones.
La teoría de los determinantes fue estudiada realmente al analizar los sistemas de ecuaciones lineales, las matrices y los determinantes permitieron expresar esa teoría de manera más compacta. Gabriel Cramer (1704-1752) estableció el método que lleva su nombre. Sin embargo, el término “determinante” lo introdujo Karl F. Gauss sólo hasta 1801.
Con relación a lo anterior, te invito a empezar la clase.
Desarrollo del tema
En forma general, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables se representa de la siguiente manera:
donde a11, a12, a13, . . . a33 son los coeficientes de las variables, mientras que x1 x2 x3 son las variables, y b1 b2 b3 son las constantes del sistema.
La solución de un sistema de ecuaciones de este tipo se puede obtener por algunos de los métodos utilizados en la clase 6, con excepción del método gráfico:
1.1. Método de sustitución
Al igual que en la clase 6, cuando selecciones este método utiliza la propiedad aditiva, multiplicativa y de sustitución, siguiendo el mismo procedimiento: despeja una de las variables de una de las ecuaciones y sustituye dicha variable en las otras ecuaciones.
Ejemplo: Analiza la aplicación del método de sustitución en el sistema de ecuaciones.
Por medio de la propiedad aditiva, despeja la variable «x» de la ecuación x− 2y + z = 1:
x = 1 + 2y -z
Mediante la propiedad de sustitución, sustituye la variable «x» en las otras ecuaciones.
De nuevo, por medio de la propiedad aditiva, despeja la variable «y» de la ecuación y + z =2: y = 2 – z.
Mediante la propiedad de sustitución, sustituye la variable «y» en la ecuación 3y−2z = 1
Desarrolla las operaciones:
Mediante la propiedad aditiva, despeja el número 6:
-3z -2z = 1 -6
-5z = -5
Concluye que la solución para la variable «z» es z =1
Luego, se sustituye el valor de la variable en cualquiera de las dos últimas ecuaciones:
y + 1= 2
y =1
Por último, sustituye el valor de las variables en una de las ecuaciones originales:
1.2. Método de eliminación (suma o resta)
El método utiliza la propiedad multiplicativa y aditiva, consiste en sumar o restar las ecuaciones de modo que se anule una de las variables, para esto, es necesario multiplicar las ecuaciones por números que hagan posible la anulación.
Ejemplo: Resuelve por el método de suma o resta el sistema de ecuaciones.
Mediante la propiedad aditiva, resta la primera y segunda ecuación, así como la segunda y tercera, de manera que elimines la variable «x».
Mediante la propiedad multiplicativa, multiplica por −2 la primera ecuación, y por medio de la propiedad aditiva suma las ecuaciones, de esta manera anulas la variable «y».
Concluye que z =1
Después, sustituye z =1 en la ecuación -y -z = -2:
-y-(1) =-2
Verifica que y =1
Por último, sustituye tanto y =1 como x =2 en la ecuación x−2y + z = 1:
x− 2 (1)+ 1 = 1
x =2
Y verifica que la solución es: {(2, 1, 1)}
1.3 Método de determinantes
En la clase 6, se definió que un determinante es un número real que está asociado con una matriz cuadrada. El símbolo que identifica al determinante es el signo de valor absoluto.
1.3.1 Valor de un determinante de tercer orden
SI quieres determinar el valor de un determinante de tercer orden, al producto de los elementos de las diagonales principales réstale el producto de los elementos de las diagonales secundarias. Para visualizar estas diagonales, repite los primeros dos renglones después del tercer renglón, o bien, las dos primeras columnas después de la tercera columna.
El proceso de repetir los renglones o las columnas se denomina “Regla de Sarrus” y solo funciona en determinantes de tercer orden.
1.3.2. Regla de Cramer
Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse por determinantes mediante la “Regla de Cramer”; la limitante de este método es que el número de ecuaciones debe ser igual al número de variables.
Ejemplo: Resuelve por medio de determinantes el sistema de ecuaciones.
Con los coeficientes de las variables forma el determinante de los coeficientes, este se representa por Δ. De modo que el determinante de los coeficientes Δ es:
Como recordarás, el determinante Δx se genera si suprimes los coeficientes de la variable «x» (3, 4 y 1), y en su lugar anotas las constantes de la ecuación (1, 0 y 2):
Sustituye Δ=20 en Δx y despeja la variable «x»:
Δx =−4
20x =−4
Verifica que
De manera similar, forma el determinante Δy y calcula su valor:
Sustituye Δ=20 en Δy y despeja la variable «y»:
Δy = 30
20y =30
Concluye que
Sustituye los valores de
en la ecuación 3x −2y + 4z = 1.
Verifica que:
Después concluye que la solución es:
Ahora, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones 3X3 por el método de determinantes. Y su aplicación en la vida cotidiana.
Conclusión
En resumen, la noción de “determinante” es útil como método simplificado para representar información. Por ejemplo, cuando deseamos informar sobre los mismos aspectos de varios entes, podemos hacerlo en forma simplificada a través de un determinante (matriz), es decir que podemos organizar los datos en filas y columnas.
Hemos llegado al final de la octava clase del curso ¿Cómo te sientes ahora? Espero que más preparado en el tema y por ello te felicito. No olvides realizar la tarea asignada y mandarla como corresponde. Te encuentro en tu última clase, hasta luego.
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 8, pp. 421-429
- Baldor, A. (2017). Álgebra. (3a ed.). México: Grupo Editorial Patria. Cap. XXXV, pp. 340-348
- Sánchez, F., Villanueva, R., & Lugo, J. (2012). Álgebra II. México: Ediciones Anglo. Cap. 3, pp. 147-150