Métodos de solución de sistemas de
ecuaciones cuadráticas con dos variables
Introducción
Te doy la bienvenida a tu última clase del curso de Álgebra II titulada “Métodos de solución de sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos variables”. Recuerda como lo vimos en la clase 7 y 8, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas, donde la solución satisface todas las ecuaciones del sistema.
Ahora los sistemas de ecuaciones son cuadráticos, es decir, aquella que aparece al menos una ecuación de orden dos. Y para su resolución se usan las mismas técnicas aplicadas en los sistemas de ecuaciones de primer grado o lineales.
Primero analizaremos la técnica analítica de resolución de sistemas de ecuaciones cuadrática – lineal por método de suma y resta. Posteriormente, veremos la resolución de sistemas de ecuaciones cuadrática – cuadrática por método algebraico. Finalmente resolveremos problemas cotidianos que se resuelvan mediante un modelo matemático que incluya un sistema cuadrático.
Disfruta tu última sesión, comencemos.
Desarrollo del tema
1.1. Sistema con una ecuación lineal y una cuadrática
El método idóneo para la solución de este sistema es el método de sustitución, como recordarás, este método utiliza la propiedad aditiva, multiplicativa y de sustitución; el procedimiento consiste en que despejes una de las variables de la ecuación lineal y luego sustituyas dicha variable en la ecuación cuadrática.
Ejemplo 1: Analiza y asimila la solución del sistema de ecuaciones:
x2 + y2 − 4x−6y+8 = 0
3x− y−8 = 0
Identifica que la ecuación lineal es 3x − y −8 = 0, y despeja la variable «y», 3x −8 = y
Después sustituye y = 3x −8 en la ecuación cuadrática x2 + y2 − 4x − 6y +8 = 0
x2 +(3x −8)2 − 4x − 6(3x −8)+8 = 0
Desarrolla las operaciones: x2 + 9x2 − 48x + 64 − 4x −18x + 48 +8 = 0
Suma los términos semejantes: 10x2 − 70x +120 = 0
Simplifica la ecuación: x2 − 7x +12 = 0
Factoriza: (x − 3)(x − 4)= 0
Verifica la solución: x = 3, x = 4
Sustituye la solución de la variable «x» en la ecuación y = 3x −8
Concluye que la solución es:
x=3, y=1
x=4, y=4
o bien los puntos (3,1) y (4,4)
Ejemplo 2: Analiza y asimila la solución (intersecciones de sus gráficas) del sistema de ecuaciones.
x − y − 2 = 0
xy −8 = 0
Identifica que la ecuación lineal es x − y − 2 = 0 , y despeja la variable “y”: x − 2 = y
Sustituye y = x − 2 en la ecuación cuadrática xy −8 = 0
x(x − 2)−8 = 0
x2 − 2x −8 = (x + 2)(x − 4)= 0
x =−2, x = 4
Solución :(− 2,−4), (4,2)
Ejemplo3: Analiza la solución del sistema de ecuaciones.
x+y+1=0
x2 + y2 + 6y -x = 7
Identifica que la ecuación lineal es x+y+1 = 0, despeja la variable «x»: x=-1-y
Luego, sustituye la variable «x» en la ecuación cuadrática x2 +y2 +6y -x =7 , y desarrolla las operaciones:
Ahora, factoriza la ecuación anterior: (2y−1)(y+ 5) = 0
De cada factor concluye que:
Después, sustituye el valor de la variable «y» en la ecuación lineal x =-1 -y.
Como siguiente actividad, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadrática – lineal con métodos algebraicos y gráficos.
1.2. Sistema formado con dos ecuaciones cuadráticas.
Para este sistema, utiliza el método de eliminación (suma o resta) y el de sustitución. En el método de suma o resta, utiliza la propiedad multiplicativa y aditiva, para que elimines una de las variables, multiplicando las ecuaciones por números que hagan posible la anulación. Enseguida, analiza los siguientes casos:
Caso 1: Sistema con dos ecuaciones de la forma ax2 +by2 + cx+ dy + e = 0
En estos sistemas, es conveniente que elimines por medio de la propiedad aditiva uno de los términos cuadráticos.
Analiza y asimila un ejemplo de este caso:
8x2 + 6 =9y2 + 21y
3x2 – 3 = 14y − y2
Multiplica por 3 y – 8 las ecuaciones para que elimines el término de la variable «x2 «:
Suma ambas ecuaciones: 42 = 35y2 – 49y
Ordena la ecuación: 0 = 35y2 – 49y -42
Reduce la ecuación: 5y2 – 7y -6 =0
Factoriza: (5y + 3)(y – 2) =0
Verifica la solución para “y”: y=2, y=.3/5
Sustituye el valor de «y = 2» en 3x2 -3 = 14 y – y2
3x2 -3 = 14 (2) -(2)2
Reduce y despeja: 3x2 = 28 − 4 + 3 = 27
Verifica la solución para “x”:
Sustituye el valor de “y =−3/5” en 3x2 −3 =14y − y2
3x2 −3 =14(−3/5)−(−3/5)2
Reduce y despeja: 3x2 =−42/5−9/25 + 3 =−294
Verifica la solución para “x”
Solución: (3,2),(−3,2)
Caso 2: Sistema con dos ecuaciones de la forma ax2 + by2 + cx + dy + e = 0 y mx.y = n
En estos sistemas, es conveniente que utilices el método de sustitución, como se muestra enseguida:
Analiza y asimila un ejemplo de este caso:
De la ecuación xy = √5 despeja la variable «y»:
Sustituye:
en la ecuación x2 + y2 = 2
Desarrolla operaciones:
Multiplica por el denominador común: x4 + 5 = 2x2
Ordena la ecuación: x4 − 2x2 + 5 = 0
Aplica la fórmula general:
*Si graficas en GeoGebra, observarás que no hay intersección porque la solución es compleja*
Caso 3: Sistema con dos ecuaciones de la forma ax2 +axy+cy2 =k
En sistemas que contienen ecuaciones de la forma ax2 +axy+cy2 =k , es conveniente que utilices el método de suma o resta para que elimines el término que no lleva variables. A continuación, se muestra un ejemplo de este caso:
Analiza y asimila los siguientes ejemplos:
Suma las ecuaciones: −3x2 − xy + 2y2 = 0
Factoriza: (3x-2y)(-x-y) = 0
Verifica la solución de una variable en términos de la otra x = 2y /3, x =−y
Sustituye x = 2y / 3 en una de las ecuaciones originales:
Multiplica por el denominador común: 44y2 + 6y2 − 45y2 = 45
Suma los términos semejantes: 5y2 = 45
Verifica la solución: y =± 3
x = 2(± 3) /3 =±2
Sustituye x=−y en una de las ecuaciones originales: 11(− y)2 +(− y)y −5y2 = 5
11y2 − y2 −5y2 = 5
Suma los términos semejantes: 5y2 = 5.
Solución: y =±1, x = −(±1) = ±1
Solución: (3,2),(−3,−2),(1,−1),(−1,1)
Ejemplo: Resuelve por el método de suma o resta el sistema de ecuaciones:
x2 − 2xy − y2 = 41,
x2 + 3xy − y2 =131
Mediante la propiedad aditiva restan la primera y segunda ecuación, de manera que elimines las variables x2 y y2 .
Luego, aplica la propiedad multiplicativa para despejar una de las variables: y =18 / x
Después, aplica la propiedad de sustitución y sustituye la variable en cualquiera de las ecuaciones:
Aplica la propiedad multiplicativa: x4 −36x2 −324 = 41x2
Por la propiedad aditiva: x4 − 77x2 −324 = 0
Mediante factorización: (x2 −81)(x2 + =4) 0
Solución real: x=±9 , {(9,2), (-9,- 2)}
Como siguiente actividad, te invito a analizar los siguientes videos en donde se explica a detalle cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadrática – cuadrática.
1.3 Planteamiento y solución de problemas
En este tema se presenta la aplicación de las ecuaciones, la cual comprende la solución de problemas que describen cantidades conocidas, cantidades desconocidas y las relaciones entre ellas.
En la unión de la teoría con la práctica surgen problemas relacionados con números, porcentajes, edades, velocidades, figuras geométricas, etc. Para la solución de estos problemas es necesario:
- Identificar la(s) variable(s) o incógnita(s) del problema y representarla(s) con una variable.
- Escribir un modelo matemático (ecuaciones) que represente las relaciones entre la variable y las cantidades conocidas.
- Resolver el modelo matemático (solución de ecuaciones o sistema de ecuaciones) y comprobar la solución.
A continuación, se presenta una variable, la relación entre la variable y cantidades conocidas, así como el modelo matemático que muestra esa relación.
Sea «x» la edad actual de Juan.
Su edad dentro de 10 años se expresa como: x+10.
Dentro de 10 años su edad será el triple de su edad actual: x+10=3x.
Sea «a» la edad actual de Dora y «b» la edad actual de Diego.
El día de hoy la edad de Dora es cinco sextos de la edad de Diego:
Dentro de 5 años la edad de Dora será cinco tercios de la edad actual de Diego:
Sea «a» el ancho y «b» el largo en metros de un rectángulo.
El perímetro es 540 metros: a+a+b+b= 540 m
El largo es 30 metros mayor que el doble del ancho: b = 30 m + 2a
Sea «a» el ancho y «b» el largo en metros de un rectángulo.
El ancho es dos tercios del largo:
Si las dimensiones aumentan 2 metros el área aumenta 64 m2: (a+ 2)(b+ 2) = (a)(b) + 64 m2
Sean «a» y «b» dos números.
La diferencia entre ambos es 24: a−b=24
Al dividir el mayor entre el menor el cociente es 2 y el residuo es 9:
Sean «a» el dígito de las decenas y «b» el dígito de las unidades.
El dígito de las decenas supera en 3 al dígito de las unidades: a=b+3
El número supera en 8 al séxtuplo de la suma de los dígitos: 10a +b = 6(a +b) +8
Como ejemplo considera los siguientes problemas:
La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es 4/15. Escribe el modelo matemático y la solución que determina dichos números naturales.
Sean «x» e «y» dos números naturales y sus respectivos recíprocos.
El modelo matemático es:
La solución del modelo matemático es por medio del método de sustitución, tal y como se muestra a continuación:
De la ecuación x − y = 4 se despeja una variable: x = 4 + y
Luego, x = 4 + y se sustituye en la otra ecuación:
Se multiplica por el denominador común: 1 (15y)+1 (15)(4+y) 4(y)(y + 4)
Se desarrollan las operaciones: 15y + 60 + 15y = 4y2 +16y
Se reducen y se ordenan los términos: 0 = 4y2 −14y − 60
Los coeficientes admiten mitad: 2y2 -7y – 30 = 0
Por factorización: (2y+ 5)(y− 6) = 0
Solución: y = 6
Sustituyendo y = 6 en una de las ecuaciones: x = 4 + 6 = 10
Solución: x =10, y = 6
Un número entero de dos dígitos es 12 unidades mayor que el quíntuplo de la suma de sus dígitos. Además, el cuadrado de la suma de sus dígitos es 39 unidades menos que el triple del siguiente número entero. Determina los dígitos del número entero.
Sean «d» el dígito de las decenas y «u» el dígito de las unidades:
10d u = 12 + 5 (d + u)
(d +u)2 =3(10d + u+1) – 39
Se desarrollan las operaciones de la ecuación: 10d + u = 12 + 5(d + u)
10d + u = 12 + 5d + 5u
Se despeja una variable:
Se sustituye:
En la ecuación (d + u)2 = 3( 10d + u +1) -39
Se desarrollan operaciones:
Se reducen y ordenan los términos: 81u2 − 459u − 756 = 0
Los coeficientes son divisibles entre 27: 3u2 −17u − 28 = 0
Por factorización:(3u+ 4)(u− 7) = 0
Solución: u =7
Sustituyendo u =7 en la ecuación:
Solución: d =8 decenas, u =7 unidades
Una persona cobró $1920 por hacer un trabajo. Pero, al realizar el trabajo necesito 4 horas más de lo planeado, y por consiguiente ganó $ 24 menos por hora. ¿En cuánto tiempo planeó realizar el trabajo?
Sean «x» el número de horas de trabajo planeadas e «y» el pago por hora.
x.y =1920
(x+ 4)(y− 24) =1920
De la ecuación x y. =1920, se despeja una variable:
Se sustituye:
en la ecuación (x+ 4)(y− 24) =1920.
Se multiplica por el denominador común: (1920 + 4y)(y − 24) =1920y
Se desarrollan las operaciones: 1920y − 46080 + 4y2 −96y =1920y
Se ordenan los términos de la ecuación: 4y2 −96y − 46080 = 0
Se divide entre 4: y2 − 24y −11520 = 0
Factorizando: (y−120)(y+ 96) = 0
Solución: y = $120 por hora
Sustituyendo y = 120 en la ecuación
Solución: x =16 horas
Un ciclista pedalea durante 30 Km a cierta velocidad. Después aumenta su velocidad en 20 Km por hora durante los siguientes 30 Km. Si el recorrido total lo realizó en 1 ¼ horas. ¿A qué velocidad recorrió los primeros 30 Km?
Sea «v» la velocidad en los primeros 30 Km
Como la velocidad es distancia entre tiempo:
entonces
Tiempo que emplea en los primeros 30 Km:
Tiempo que emplea en los siguientes 30 Km:
Tiempo total del recorrido:
Se aplica la propiedad multiplicativa: 1.25(v)(v + 20) = 30(v+ 20)+ 30(v)
Se desarrollan las operaciones: 1.25v2 + 25v = 30v + 600 + 30v
Se agrupan términos y se ordenan: 1.25v2 −35v − 600 = 0
Por factorización: (1.25v+15)(v− 40) = 0
Solución: v=40 Km/h
Conclusión
En conclusión, las soluciones de sistemas de ecuaciones cuadráticas, son los puntos de intersección de sus gráficas o los lugares donde las ecuaciones tienen los mismos valores de las variables.
Recuerda, como es frecuente que, en alguno de los pasos de la resolución, se haya tenido que elevar al cuadrado alguna de las incógnitas, se habrán introducido así soluciones «extrañas». Es imprescindible comprobar todas y cada una de las parejas de raíces o soluciones obtenidas para las incógnitas en las ecuaciones originales del sistema. Siempre habrá que desechar alguno de estos pares, si no cumple la igualdad.
¡Has concluido la última clase del curso! Ha sido un gozo compartir contigo este trayecto formativo. Deseo que el curso haya cumplido con tus expectativas y te encuentres satisfecho con los temas abordados, así como con tu desempeño y compromiso. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión del curso. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!
Fuentes de información
- Aguilar, A. (2009). Matemáticas Simplificadas. (2a ed.). México: Pearson. Cap. 12, pp. 521-524.
- Sánchez, F., Villanueva, R., & Lugo, J. (2012). Álgebra II. México: Ediciones Anglo. Cap. 3, pp. 152-156.