Propiedades de desigualdades, resolución de desigualdades de primer y segundo orden
Introducción
¡Hola!
Es un gusto encontrarte nuevamente, espero que estés aprendiendo mucho, sobre todo, que tu ánimo no decaiga y sigas conociendo más acerca de los temas que se te presentan. Por lo tanto te invito a continuar en la segunda clase denominada Propiedades de desigualdades, resolución de desigualdades de primer y segundo orden del curso de Cálculo Diferencial.
En esta segunda clase se abordará la resolución de desigualdades de primer y segundo grado, así como desigualdades de valor absoluto, las desigualdades permiten plantear problemas de aplicación y resolverse. Serás capaz de resolver problemas de aplicación además de plantear la desigualdad.
Finalmente, recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible.
¡Te deseo muchísimo éxito!
Desarrollo del tema
Desigualdades y sus propiedades
El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado y se pueden establecer relaciones de orden entre dos números como: 52<6, 1>-4, 6≤20, a estas expresiones se les llaman desigualdades.
Tipo de desigualdades
| Desigualdades estrictas | Se lee |
|---|---|
| a<b | a es menor que b |
| a>b | a es mayor que b |
| Desigualdades no estrictas | Se lee |
| a≤b | a es menor o igual que b |
| a≥b | a es mayor o igual que b |
Desigualdad
Una desigualdad es una expresión matemática que involucra variables, constantes y cualquiera de los símbolos <,≤,> o≥.
Por resolver una desigualdad se entiende determinar el intervalo o combinación de intervalos (de números reales) cuyos elementos satisfacen la desigualdad.
Ejemplo
- Encuentra el conjunto de valores para x que hacen verdadera la desigualdad x – 3 > 10 y representa la solución en notación de intervalo y en la recta numérica.
Solución
Aplicando la propiedad aditiva de los números reales. Sumando +3 en ambos lados de la desigualdad
Representado en notación de intervalo
Representando en la recta numérica
Comprobación
Para verificar que el conjunto solución es correcto, se sugiere elegir cualquier valor y sustituirlo en la desigualdad, al ser una desigualdad estricta no se puede elegir el número 13, por tanto, se elige el 14.
Sustituyendo 14 en la desigualdad
14 – 3 > 10
11 > 10
11 es mayor que 10 por lo tanto la proposición es verdadera.
2. Encuentre el conjunto solución a la desigualdad 10 – 8x < 4x – 1
Solución
Solución analítica
Utilizando la propiedad aditiva para tener del lado izquierdo la variable y del lado derecho los valores independientes.
-8x – 4x < 10 – 1
Sumando
-12x < 9
Por lo tanto el conjunto solución es
3. Encuentra el conjunto solución de la desigualdad
expresa en la solución en notación de conjunto de intervalo y representa en la recta numérica.
Solución.
Multiplicando por 1/2
Aplicando la propiedad aditiva
Reduciendo términos
Aplicar la propiedad multiplicativa y la desigualdad cambia. Multiplicando por -3
4. Encuentra el conjunto de la desigualdad
Solución
Multiplicando por 4
-8 < 6 – 2x≤20
Planteando dos desigualdades y resolviendo cada una
Desigualdad de segundo grado
Una desigualdad de segundo grado en la variable x en su forma simple es ax2 + bx + c < 0, la expresión también es válida para los símbolos >,≤,≥.
La solución de una desigualdad de segundo grado tiene tres casos de solución:
- Dos raíces reales
- Una raíz real
- Raíces complejas
Ejemplo
- Encuentra el conjunto solución de la desigualdad x2 – 3x + 2 > 0.
Solución
Factorizando la desigualdad
(x-2) (x-1) > 0
Obteniendo puntos críticos
Dibuja en la recta numérica los puntos críticos y traza líneas verticales que dividen la recta.
Elegir valores entre esos segmentos y comprobar que la desigualdad se cumpla.
Elegir un valor entre -∞ y 1.
Se cumple la desigualdad, por lo tanto un conjunto solución es S = (-∞, 1)
Elegir el siguiente valor entre 1 y 2.
La desigualdad no se cumple por lo tanto no hay solución.
Elegir un valor entre 2 y ∞.
Se cumple la desigualdad, por lo tanto un conjunto solución es S = (2,∞)
Por lo tanto la solución es S=(-∞,1) ∪ (2,∞)
2. Resuelve la desigualdad 4≤x2
Solución
Reescribiendo la desigualdad
Sacando raíz cuadrada
Por lo tanto los puntos críticos son x = -2 y x = 2
Elegir tres puntos críticos entre -∞ a-2; -2 a 2 y 2 a ∞
Al cumplirse la desigualdad un conjunto solución es
No se cumple la desigualdad por tanto el conjunto (-2,2) no es solución.
Al cumplirse la desigualdad un conjunto solución es S = [2,∞)
Por lo tanto el conjunto solución es S = (-∞,-2]∪ [2,∞)
Desigualdades racionales
Ejemplo
1. Encuentra el conjunto solución
Solución
Reescribiendo la desigualdad
Realizando la operación
Como el polinomio p(x) debe ser diferente de cero encontrar el punto crítico, tomando el polinomio e igualarlo a cero.
x-3 = 0
x = 3
Resolver la parte lineal de la ecuación -7x + 24 ≤ 0
Entonces los puntos críticos son
para encontrar el conjunto solución elegir valores entre:
Eligiendo x=0
Eligiendo
No se cumple la desigualdad por tanto ese conjunto no es solución.
Eligiendo x=5
El conjunto solución es
Recuerde que 3 no se puede tocar porque es el valor que hace cero p(x).
Desigualdad de valor absoluto
Propiedades de las desigualdades de valor absoluto.
Ejemplo:
- Resuelve la desigualdad |x – 4| < 30
Solución
Identificando la propiedad la cual es 1, reescribiendo
-30 < x – 4 < 30
Resolviendo la desigualdad
-26 < x < 34
El conjunto solución es S = (-26, 34)
2. Resuelve la desigualdad |-2x + 17| ≥10
Solución
Identificando la propiedad la cual es 2, reescribiendo
Resolviendo
Conclusión
En resumen, las relaciones de orden entre dos números pertenecientes al conjunto de números reales se llaman desigualdades, estas expresiones matemáticas involucran variables, constantes y cualquiera de los símbolos <, ≤, > o ≥. Las desigualdades pueden ser de tipo estricto o no estricto.
Al determinar el intervalo o combinación de intervalos (de números reales) cuyos elementos satisfacen una desigualdad podemos decir que se ha encontrado solución a la desigualdad.
Una desigualdad de segundo grado en la variable x puede tener tres casos de solución: dos raíces reales, una raíz real o raíces complejas.
Una desigualdad racional es una expresión algebraica de la forma
donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠0. Para encontrar solución a una desigualdad de valor absoluto es importante identificar las propiedades de las desigualdades de valor absoluto.
Es así como concluimos nuestra segunda clase. ¡Vas avanzando muy bien, te felicito! No olvides que para concluir la sesión debes hacer la tarea asignada y enviarla de manera correcta. Te encuentro en la siguiente clase, hasta luego.
Fuentes de información
- http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/inecuaciones/impresos/quincena5.pdf
- Zill, D. G., & Wrigth. W. S. (2011). Matemáticas 1: Cálculo Diferencial. México: MC Graw Hill.