Interpretación geométrica de la derivada
Introducción
¡Hola!
¡Qué emoción volvernos a encontrar! Espero que sigas con ese mismo ímpetu de la primera clase y continúes aprendiendo, por lo tanto te invito a esta séptima clase titulada INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA del curso Cálculo Diferencial.
En esta clase, se analizarán los problemas clásicos que dan origen al cálculo infinitesimal, estos problemas comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución si no hasta el siglo XVII por obras del inglés Issac Newton y el alemán Gottfried Leibniz.
En lo correspondiente a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen a: El problema de la tangente a una curva, el teorema de los extremos máximos y mínimos
Espero que disfrutes esta sesión. ¡Mucho éxito!
Desarrollo del tema
Interpretación geométrica de la derivada
Sea f una función definida en un intervalo abierto I, que contiene al número a y que además existe el límite
entonces, la recta que pasa por (a,f(a)) y tiene pendiente m es la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a,f(a)) y cuya ecuación esta dada por y=m(x-a)+f(a)
Ejemplo
Encuentra la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)=x2 en el punto P(2,4).
Razón de cambio promedio
Supongamos que x y y son dos variables relacionadas, en las que el cambio en una influyen en un cambio en la otra, designemos como Dx y Dy los incrementos en dichas variables, la razón de cambio promedio es el cociente
Ejemplo:
Consideremos un cilindro de gas, el cual tiene dos medidores, uno de temperatura y otro de presión. Un día caluroso se registran la temperatura y presión en distintos tiempos.
Solución
La razón de cambio promedio entre el incremento de temperatura y el incremento de tiempo en el intervalo de 6 a 8
Definición de la derivada de una función
Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene al número c. La derivada de f en c, denotada como f’(c) está dada por:
Ejemplo:
Encuentra f'(1)si f(x)=x3+2
Solución
Por definición
Primer paso: f(1)=(1)3+2=3
f(1+∆x)=(1+∆x)3+2=1+3∆x+3∆x2+∆x3+2 =3∆x+3∆x2+∆x3+3
Segundo paso
f(1+∆x)-f(1)
f(1+∆x)-f(1)=3∆x+3∆x2+∆x3+3-3 =3∆x+3∆x2+∆x3
Factorizando delta x
=∆x(3+3∆x+∆x2)
La derivada como una función
siempre y cuando el límite exista.
Ejemplo:
Sea f(x)=x3+2 encontrar: la derivada y su dominio, f’(-1) y la ecuación de la recta tangente en c=-1, f’(1) y la ecuación de la recta tangente en c=1
Primer paso f(x+∆x)
Segundo paso f(x+∆x)-f(x)
Factorizando delta x
La diferencial
Supongamos una función f cuya derivada en c existe, entonces la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (c,f(c)) viene dada por la ecuación y=f'(x)(x-c)+f(x).
Si y=f(x) es una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. la diferencial de x(dx) es cualquier número real diferente de cero. La diferencial de y(dy) se define como dy=f'(x)
Cálculo de derivadas
Reglas básicas de la derivación
Derivada de una constante
Aplicando la definición de derivada obtenga la derivada de una función f(x)=C, donde C, es una constante
Derivada de una potencia
Aplicando la definición de derivada obtenga la derivada de una función f(x)=x2
Derivada de un múltiplo de una función
Derivada de un cociente de funciones
Derivadas de las funciones trigonométricas
Conclusión
En resumen, el análisis de la derivada de una función es en sí misma una función que proporciona la pendiente de una recta tangente. La derivada no es, sin embargo, una ecuación de una recta tangente. Recuerde que f’(x) debe evaluarse en xo antes de usarla en la forma punto-pendiente. Si es diferenciable en xo, entonces la ecuación de la recta tangente en (xo, yo) es y-yo=f’(xo)(x-xo).
La derivada f’(x) también es la razón de cambio instantáneo de la función y=f(x) con respecto a la variable x.
¡Has concluido la clase del curso! ¡Muchas felicidades!. No olvides realizar la tarea asignada para la plena conclusión de la clase. Espero encontrarte nuevamente, ¡hasta pronto!