Noción de límite. Definición de límite de una función. Propiedades de los límites.
Introducción
¡Hola!
Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen ánimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada LÍMITE del curso Cálculo Diferencial.
En esta sexta clase, se abordará la definición de límite, que es quizá el concepto matemático más importante que ha permitido el desarrollo y solución de los problemas que dieron origen al cálculo. La noción de límite aparece no solo en cálculo diferencial, sino que se relaciona con los cursos de análisis y cálculo vectorial. El concepto conforma una pareja indisoluble con el de continuidad, tal para que el primero exista, debe existir aquél.
Entendido lo anterior, te invito a continuar la clase.
Desarrollo del tema
Límites
Recordemos algunos conceptos, de la siguiente función
¿Cuál es el dominio de la función?
De acuerdo con lo aprendido en la clase 4, se observa que es una función polinomial, por lo tanto q(x) debe ser diferente de cero, entonces se plantea la igualdad para así conocer el dominio de la función. Al resolver se sabe que el dominio de la función es Df=R{-4}, por tanto, se podría decir que se pueden elegir valores de menos infinito hasta antes del -4 y poquito después del -4 hasta más infinito donde la función es válida. Observa la tabla, en donde se eligieron valores de x muy cerca a -4 por la derecha y por la izquierda y se sustituyen en la función.
En la tabla se acerca al -4 por la izquierda, observándose que cada vez que se acerca más al -4 el valor tiende a 8
En la tabla se acerca al -4 por la derecha, observándose que cada vez que se acerca más al -4 el valor tiende a 8
Al acercarse por la izquierda y por la derecha el valor tiende al mismo número, se dice que el límite de la función en x=4 tiende a 8. Generalizando el concepto, el límite de una función en un valor a existe si cuando se acerca por la derecha y por la izquierda tiende a l mismo valor
Existencia o no existencia
Un límite (por un lado o por dos lados) no tiene por qué existir. Pero es importante recordar: La existencia de un límite de una función f cuando x tiene a a (desde un lado o desde ambos lados) no depende de si f esta definida en a, si no solo si esta definida para x cerca del número a
Ejemplo:
Si la función
se modifica de la siguiente forma
Se sabe que la función f(-4) esta definida y es f(-4)=5, sin embargo
Por lo tanto el límite por los dos lados
no existe, para dejar más claro el concepto, observa la imagen, en donde, la función por partes, respeta que la primer parte no toma el valor de -4 y en la segunda parte si.
Ejemplo:
Encuentra el límite de f(x)=-x2+2x+2 cuando x tiende a 4 por la izquierda y por la derecha
Solución
Elige los valores a sustituir por la izquierda y por la derecha, por ello se llena la tabla.
Al observar las tablas, se puede inferir que el límite de la función cuando x tiende a 4, es -6.
Analíticamente se resuelve de la siguiente forma
Calculando el límite por la izquierda
-x2+2x+2 =-6
Calculando el límite por la derecha
-x2+2x+2 =-6
Al ser los dos límites iguales se dice que el límite de la función es: -x2+2x+2 =-6
Ejemplo:
Calcula el límite de la función cuando x tiende a 2
f(x)={x2, x<2 -x+6, x>2
Solución
La gráfica de la función es la siguiente:
Se coloca la recta numérica para visualizar los valores de acercamiento por la izquierda y por la derecha.
Asignación de valor por la izquierda
Asignación de valores por la derecha
Al ser los dos límites iguales se sabe que
Ejemplo:
Encuentra el límite de la función
f(x)={x+2, x≤5 -x+10, x>5
Solución
Se dibuja la recta numérica para identificar el acercamiento por la derecha y por la izquierda, y posteriormente el llenado de la tabla.
Se concluye que en la función el límite no existe.
Teoremas de los límites
Ejemplo:
Evalúa 8
Solución
Por el teorema de límites 8 es la constante por tanto el límite es: 8=8
Evalúa 8 x
Solución
Utilizando los teoremas de límite
Ejemplo:
2. Evalúe el x3
Solución
Aplicando el teorema de límite de una potencia
Ese resultado indica una indeterminación, pero es incorrecto decir que el límite no existe, cuando suceda esto se deben realizar diversas operaciones algebraicas que validen o no la existencia del límite.
Factorizando el denominador
Al tener esta indeterminación se procede a factorizar para determinar que en efecto el límite no exista
Factorizando numerador
(x – 5) (x-5)
Factorizando denominador
(x – 5) (x+1)
Sustituyendo en el límite
Se concluye que el límite si existe y es cero
Al ser 0/0 no significa que el límite no exista, cuando se tienen raíces cuadradas la operación algebraica que se realiza es la racionalización
Racionalizando
Se concluye que el límite existe y es
Continuidad
Si alguna de estas condiciones no se cumple se dice que la función no es continua en a: Determinar si cada una de las siguientes funciones es continua en 1.
La primera parte de la función no puede tomar el valor de 1, por ello se toma la segunda parte de la función.
g(1) = 2
La función se encuentra definida, por lo tanto se procede al segundo paso que es evaluar el límite de la función cuando x tiende a 1
Evaluando el límite
Al observar la función la parte del numerador se puede factorizar como una diferencia de cubos, utilizando la fórmula de factorización.
El tercer paso para verificar si la función es continua en a=1 es verificar la igualdad entre la función en a y el límite; como g(x) ≠g(1), la función no esta definida en 1.
3. Determine si la función
Solución
Verificando que la función esté definida en a=1
f(1)=3
Al estar la función definida se calcula el límite de la función, el cual ya fue calculado en el ejercicio anterior el cual es 3
Al ser como f(x) =f(1), la función esta definida en 1.
Límites trigonométricos
Conclusión
Para concluir el tema recordemos lo siguiente:
El límite de una función determina en qué valores la función esta definida y esto esta aunado con la continuidad de una función. Si al evaluar el límite el resultado es 0/0, se deberá factorizar, racionalizar para verificar que el límite no existe. Los límites trigonométricos tienen sus propias reglas, y se deben utilizar las identidades correctas.
Es así que, con esta breve conclusión, terminamos la clase y te doy una ¡gran felicitación por este logro! No olvides realizar y enviar correctamente y a tiempo la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase
Fuentes de información
- Límites
- Zill, D. G., & Wrigth. W. S. (2011). Matemáticas 1: Cálculo Diferencial. México: MC Graw Hill.