Funciones algebraicas: polinomiales y racionales. Funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. Operaciones con funciones: adición, multiplicación, división y composición
Introducción
¡Hola!
Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el ánimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada Funciones algebraicas: polinomiales y racionales del curso Cálculo Diferencial.
En esta clase comprenderás el concepto de función y las nociones fundamentales de la misma en las matemáticas.
Como se vio en la clase 3, las funciones tienen su propia clasificación, las cuales abordaremos con más detalle, así como las transformaciones que pueden tener. Transformación rígida y no rígida, se abordará el concepto de simetría de una función.
Dependiendo del tipo de función, en la gráfica se pueden observar asíntotas, las cuales se determinan de manera analítica, así mismo, podrás obtener funciones inversas.
De acuerdo con lo anterior, te invito a continuar la sesión, ¡mucho éxito!
Desarrollo del tema
Combinación de funciones
Dos funciones f y g pueden combinarse en varias formas para obtener nuevas funciones. Analicemos dos formas en que es posible combinar funciones: mediante operaciones aritméticas y a través de la operación de composición de funciones.
Función potencia
Una función de la forma f(x) = xn se denomina función potencia.
El dominio de la función potencia depende de la potencia n. Por ejemplo, para n = 2, n = 1/2 y n = -1, respectivamente,
- el dominio de f(x) =x2 es el conjunto R de números reales,
- el dominio de
- el dominio de
Es el conjunto R de números reales excepto x = 0.
Gráfica de funciones potencia
Combinaciones aritméticas
Dos funciones pueden combinarse por medio de las cuatro conocidas operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división.
Si f y g son dos funciones, entonces la suma f + g, la diferencia f – g, el producto fg y el cociente f/g se definen como sigue:
Dominio de una combinación aritmética
Al combinar dos funciones aritméticamente es necesario que ambas f y g estén definidas en el mismo número x. Por tanto, el dominio de las funciones f + g, f – g y fg es el conjunto de números reales que son comunes a ambos dominios; es decir, el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente f/g, el dominio también es la intersección de los dos dominios, pero también es necesario excluir cualquier valor de x para el que el denominador g(x) sea cero.
Ejemplo:
Determina el dominio de la función
Solución
Planteando la combinación de funciones
Como se mencionó el dominio de la combinación de funciones es la intersección de sus dominios.
El dominio de la función f(x) son todos los números reales, sin embargo, para la función g(x) se debe plantear la desigualdad para conocer el dominio.
Por lo tanto el dominio de
Ahora hay que buscar la intersección de ambos dominios
Funciones racionales
Las funciones racionales tienen la forma:
Donde q(x) debe ser diferente de cero, en general p(x) y q(x) son funciones polinomiales.
Composición de funciones
Ejemplo:
Si
Encuentre f(g(x)) y g(f(x))
Solución
Sustituyendo para obtener f(g(x)), coloque las funciones para que pueda identificarlas
Sustituyendo para obtener g(f(x))
Se puede observar que las funciones obtenidas son diferentes.
Transformaciones rígidas
Una transformación rígida de una gráfica es una transformación que cambia sólo la posición de la gráfica en el plano xy, pero no su forma. Para la gráfica de una función y=f(x) se analizan cuatro tipos de desplazamientos o traslaciones.
Para visualizar un poco esta transformación observa la siguiente imagen, la primera imagen es la función original y continuando se pueden observar todas las traslaciones.
Otra forma de transformar rígidamente la gráfica de una función es por medio de una reflexión en un eje de coordenadas.
Transformaciones no rígidas
Si una función f se multiplica por una constante c > 0, la forma de la gráfica cambia pero retiene, aproximadamente, su forma original. La gráfica de y = cf(x) es la gráfica de y = f(x) distorsionada verticalmente; la gráfica de f se estira (o elonga) verticalmente o se comprime (o aplana) verticalmente, dependiendo del valor de c. En otros términos, un estiramiento vertical es un estiramiento de la gráfica de y = f(x) alejándose del eje x, mientras que una compresión vertical es una compresión de la gráfica de y = f(x) hacia el eje x. La gráfica de la función y = f(cx) está distorsionada horizontalmente, ya sea por un estiramiento de la gráfica de y = f(x) alejándose del eje y o por una compresión de la gráfica de y = f(x) hacia el eje y. El estiramiento o la compresión de una gráfica constituyen ejemplos de transformaciones no rígidas.
Ejemplo:
Sea la función
realiza la traslación:
- Dos unidades hacia arriba
- Dos unidades hacia abajo
- Dos unidades a la izquierda
- Dos unidades a la derecha
- Refleja la función en el eje de las x
Solución
a) Para deslizar dos unidades hacia arriba se debe utilizar y = f(x) + c, en este caso c = 2
b) Para deslizar dos unidades hacia abajo se debe utilizar y = f(x) – c, en este caso c = 2
c) Para deslizar dos unidades a la izquierda utilizar y = f(x) + c, en este caso c = 2
d) Para deslizar dos unidades a la derecha utilizar y = f(x) – c, en este caso c = 2
e) Para reflejar la función en el eje de las x, se utiliza y = – f(x)
Simetría
Si la gráfica de una función es simétrica con respecto al eje y, decimos que f es una función par. Se dice que una función cuya gráfica es simétrica con respecto al origen es una función impar. Contamos con las siguientes pruebas para simetría.
Ejemplo:
Determina la simetría de la función:
Verificando simetría con el eje y f (- x) = f(x)
Realizando f(-x)
Al cumplirse la igualdad se dice que la función tiene simetría con el eje y, ya que f(-x) = f(x), al graficar la función se puede observar esa simetría
Ejemplo:
Determina la simetría de la función:
Solución
Verificando simetría con f(-x) = f(x)
Al no cumplirse la igualdad se dice que la función no tiene simetría par o con el eje de las y
Verificando simetría con f(-x) = -f(x)
Al cumplirse f(-x) = -f(x), se dice que la función es impar y tiene simetría con el eje x
Funciones polinomiales y racionales
Una función polinomial tiene la forma:
Donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales.
En las funciones polinomiales a0, a1, a2, …, an son constantes que se denominan coeficientes el número an se llama coeficiente principal y a0 se denomina término constante del polinomio. Se dice que la mayor potencia de x en un polinomio es el grado de éste.
Rectas
En el plano xy hay tres tipos de rectas: rectas horizontales, rectas verticales y rectas inclinadas u oblicuas. Cabe mencionar que la función lineal es una recta. La pendiente es conocida como el ascenso o descenso, es decir, el cambio de posición en el eje x y y, la ecuación de la pendiente es:
en la figura se observa su ascenso vertical y recorrido horizontal.
Dependiendo del valor de la pendiente es el sentido que la recta tomará, en la siguiente imagen podrá observar esa dirección.
La ecuación de la recta es y = mx + b; donde m es la pendiente, b la ordenada al origen
Ejemplo:
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-1,8) y B(1,4)
Solución
En los pares ordenados identificar x y y
Calculando la pendiente
Para calcular la ordenada al origen se toma un par ordenado y se despeja b de la ecuación de la recta tangente
La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-1,8) y B(1,4)
En la imagen anterior se muestra como la ecuación obtenida pasa por los puntos.
Funciones crecientes y decrecientes
Los valores de una función lineal f(x) = ax + b crecen cuando x crece, mientras que para a<0, los valores de f(x) disminuyen cuando x crece. Los conceptos creciente y decreciente pueden extenderse a cualquier función. Se dice que una función f es:
- Creciente sobre un intervalo f(x1) < f(x2)
- Decreciente sobre un intervalo f(x1) > f(x2)
Asíntotas
La gráfica de una función racional
puede tener asíntotas. Para los objetivos de este libro, las asíntotas pueden ser una recta horizontal, una recta vertical o una recta inclinada. En un nivel práctico, las asíntotas vertical y horizontal de la gráfica de una función racional f pueden determinarse por inspección. Así, por el bien del análisis se supondrá que
Criterios para encontrar asíntotas en una función polinomial
Ejemplo:
a) Encuentra las intersecciones y asíntotas, después grafica
Solución
Encontrando intersección con el eje y
Sustituyendo x = 0
La intersección con el eje y es en el punto (0,0)
Encontrando la intersección con el eje x
Sustituyendo y = 0
La intersección con el eje x es en el punto (0,0)
Encontrando las asíntotas
Encontrando la asíntota Vertical, significa igualar q(x) a cero
Despejando x
Existen dos asíntotas verticales que son x = -1 y x = 1
Encontrando las asíntotas horizontales
Identificando n y m de los polinomios n = 1, m = 2
Como n < m, la asíntota horizontal es y=0
b) Encuentra las intersecciones y asíntotas, después grafica
Encontrando intersección con el eje y
Sustituir x = 0
La intersección con el eje y es
Encontrando intersección con el eje x
Sustituir y = 0
Factorizando
La intersecciones con x son (-2,0) y (3,0)
Buscando asíntotas
Asíntota vertical
Igualando q(x) = 0
Asíntota horizontal
Identificando n y m
n = 2, m = 1
Como n>m no hay asíntota horizontal, entonces si hay asíntota oblicua
n = m + 1
2 = 1 + 1
Realizar el cociente de la función
Funciones trascendentes
Una función trascendente puede ser tan simple como la función potencia y=xn, donde la potencia es un número irracional, pero las conocidas funciones trascendentes de precálculo en matemáticas son las funciones trigonométricas, las funciones trigonométricas inversas y las funciones exponencial y logarítmica.
Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas presentan periodicidad, lo que permite que sean empleadas para modelar fenómenos físicos que presentan cierta repetitividad.
Las funciones trigonométricas son también conocidas como funciones circulares, ya que extienden la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales.
Función seno y coseno
Sea x un ángulo en radianes. Para graficar la función seno se asignan valores a x entre 0 ≤ x ≤ 2π y determina el correspondiente valor del seno. Las parejas ordenadas se ubican en el plano cartesiano y se unen con una curva suave, completando un ciclo de la gráfica de la función. Por ser periódica f(x) = sin sin x se traza de manera repetida el ciclo.
En la imagen se muestra la gráfica de la función seno de 0 ≤ x ≤ 2π, esta parte representa solo un ciclo de la función, si se desean graficar más ciclos, se puede realizar:
A continuación se muestra la gráfica de la función seno con más de un ciclo.
De las gráficas de las funciones seno y coseno se sabe que el dominio de ambas son todos los números reales y el rango oscila entre [-1,1]
Conclusión
En conclusión, las funciones polinomiales constituyen los objetos fundamentales de una clase conocida como funciones algebraicas. En esta clase se abordó que una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales. En general, una función algebraica implica un número finito de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces cuadradas de funciones polinomiales. Así
Son funciones algebraicas.
Una función trascendente f se define como una función que no es algebraica. Las seis funciones trigonométricas y las funciones exponencial y logarítmica son ejemplos de funciones trascendentes.
Hasta aquí se concluye la clase. ¡Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu próxima clase, hasta entonces.
Fuentes de información
- Zill, D. G., & Wrigth. W. S. (2011). Matemáticas 1: Cálculo Diferencial. México: MC Graw Hill.