Clase digital 3: Definición de variable, función dominio y rango. Función real de variable real y su representación gráfica. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Definición de variable, función dominio y rango. Función real de variable real y su representación gráfica. Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Introducción

¡Hola!

Qué gusto saber de ti en esta nueva clase, espero que sigas encontrando fascinante este curso de Cálculo Diferencial, en esta ocasión tenemos el tema LAS FUNCIONES.

En esta clase comprenderás el concepto de función y las nociones fundamentales de la misma en las matemáticas. 

La palabra función se utiliza para sugerir una relación o una dependencia de una cantidad con respecto a otra. Las funciones se clasifican como polinomiales, racionales, logarítmicas, exponenciales, trascendentes, trigonométricas, las cuales tienen una variable independiente que por lo general se simboliza con x y una variable dependiente y, ya que esta variable toma el valor elegido por la variable independiente.

En esta clase podrás analizar la definición de función real e identificar los tipos de funciones y sus representaciones gráficas para plantear modelos matemáticos.

¿Estás preparado para tener éxito en esta clase? ¡Comenzamos!

Desarrollo del tema

Funciones 

Al usar los objetos e interactuar con las personas que nos rodean, resulta fácil establecer una regla de correspondencia que asocie, o apareje, a los miembros o elementos de un conjunto con los elementos de otro conjunto. Por ejemplo, para cada número de seguridad social hay una persona; para cada libro corresponde por lo menos un autor; para cada estado hay un gobernador, etcétera. En matemáticas estamos interesados en un tipo especial de correspondencia: una correspondencia con valor único denominada función.

Una función suele denotarse por una letra como f, g o h. Entonces podemos representar una función f de un conjunto X en un conjunto Y por medio de la notación f: X -> Y. El conjunto X se llama dominio de f. El conjunto de elementos correspondientes y en el conjunto Y se denomina rango de la función. El único elemento y en el rango que corresponde a un elemento x selecto en el dominio X se denomina valor de la función en x, o imagen de x, y se escribe f(x). Esta expresión se lee “f de x” o “f en x”, y se escribe y = f(x). Algunas veces también conviene denotar una función por y= y(x). Observe en la figura que el rango de f no necesariamente debe ser todo el conjunto Y. A muchos profesores les agrada llamar a un elemento x en el dominio entrada de la función, y al elemento correspondiente f(x) en el rango de salida de la función. Puesto que el valor de y depende de la elección de x, y se denomina variable dependiente; x se denomina variable independiente. A partir de este momento consideraremos que los conjuntos X y Y constan de números reales; así, la función f se denomina función con valor real de una sola variable real.

El dominio de una función f es el mayor subconjunto del conjunto de números reales para los que f(x) es un número real. 

Imagen es el número real y que se obtiene al aplicar la regla de correspondencia de f a un elemento x del dominio.

Ejemplo:

Determina la imagen correspondiente para x=0, x=1, x=2 y x=3 dada la regla de correspondencia

Solución

Para generar la imagen se deben sustituir los valores en la función dada.

Los valores hay que verlos como puntos coordinados para generar la imagen.

Generando la imagen

Solo se generaron tres puntos en la imagen, el alumno puede generar más puntos considerando valores negativos en x.

Sin embargo, se puede observar que el dominio de la función es (-∞,3)∪(3,∞), de acuerdo a la gráfica.

Ejemplo:

Determina el dominio y rango de f(x) = 1 – x²

Solución

Para determinar el dominio de la función se debe analizar la función, en este caso es una función polinomial, por lo tanto el dominio de la función son todos los números reales

D_f = R

Para determinar el rango de la función se debe despejar la variable x

Despejando x de y = 1 – x²

Al observar la ecuación resultante, se deben buscar los valores de y que hagan válida la raíz, es decir, una raíz sólo puede tomar valores de cero o mayores a él, por ello se plantea la siguiente desigualdad:

La solución de la desigualdad muestra que el rango de la función son valores de menos infinito a -1.

Entonces, en la gráfica se puede observar el resultado analítico.

Ejemplo:

Determina el dominio y rango de la función

Solución

Al ser una función polinomial q(x) debe ser diferente de cero, por tanto para determinar el dominio de esa función se tomará en cuenta solo el polinomio q(x). Igualando a cero para conocer el valor de cero en el polinomio.

El dominio entonces es:

También se puede representar como: 

O bien como:

Obteniendo el rango de la función

Despejando x

Ahora igualar q(y) a cero y resolver la ecuación:

Por lo tanto el Rango de la función es:

Ejemplo:

Determina el dominio y rango de la función f(x) = ln ln (8x – 2)

Solución

Por definición el ln b, b>0, por lo tanto se plantea la desigualdad 

8x -2 > 0

Resolviendo

Por lo tanto el dominio de la función es

Para determinar el rango de la función, despejando x

La ecuación puede tomar cualquier valor real de y, por lo tanto R_f = R.

Gráfica de una función

En campos como ciencia, ingeniería y negocios, a menudo se usa una función para describir los fenómenos. A fin de interpretar y utilizar datos, es útil representar estos datos en forma gráfica. En el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares, la gráfica de una función f es la gráfica del conjunto de pares ordenados (x, f(x)), donde x está en el dominio de f. En el plano xy, un par ordenado (x, f(x)) es un punto, de modo que la gráfica de una función es un conjunto de puntos. Si una función se define por medio de una ecuación y=f(x), entonces la gráfica de f es la gráfica de la ecuación.

• Un valor de x es una distancia dirigida desde el eje y, y 
• Un valor funcional f(x) es una distancia dirigida desde el eje x. 

La gráfica ilustra el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una relación. Para elaborar una gráfica se enlistan en una tabla las parejas cartesianas, eligiendo los valores de la variable independiente (x) perteneciente al dominio de la función y después determinar los valores propios a y, mediante la aplicación de la regla de correspondencia, las coordenadas se colocan en el plano cartesiano y se unen mediante una línea o curva suave.

Ejemplo:

Graficar la función f(x) = 2x + 8

Solución

Elegir los valores de la variable independiente

Ahora dibuja los puntos en el plano cartesiano y unelos.

Prueba vertical en las funciones

La gráfica permite conocer si ésta representa o no una función. Una forma de definirlo es aplicando el criterio de la recta vertical, ya que por la regla de correspondencia de un valor de dominio por un valor de rango la recta vertical solo intersecta en un punto, si se intersectan en más puntos no se representa una función.

Intersección

Para graficar una función definida por una ecuación y=f(x), una buena idea suele ser determinar primero si la gráfica de f tiene intersecciones. Recuerde que todos los puntos sobre el eje y son de la forma (0, y). Entonces, si 0 es el dominio de una función f, la intersección y es el punto sobre el eje y cuya coordenada y es f(0); en otras palabras, (0, f(0)). 

De manera semejante, todos los puntos sobre el eje x tienen la forma (x, 0). Esto significa que para encontrar las intersecciones x de la gráfica de y =f(x), se determinan los valores de x que hacen y = 0. Es decir, es necesario resolver la ecuación f(x) = 0 para x. Un número c para el que f(c) = 0 se denomina cero de la función f o raíz (o solución) de la ecuación f(x) = 0. Los ceros reales de una función f son las coordenadas x de las intersecciones x de la gráfica de f. 

Ejemplo:

Encuentra de ser posible las intersecciones x y y de la función

Solución

Para encontrar las intersecciones en y, el valor de x=0, por lo tanto evaluar la función con x=0.

Entonces la intersección en y es

Buscando intersecciones en x, el valor de y=0, resuelve la ecuación para x.

Factorizando para obtener los valores de x.

Por lo tanto las intersecciones en x son (0,-3) y (0,1)

Puedes comprobar estos resultados al graficar la función para comprobar esas intersecciones.

Conclusión

En conclusión, cuando se traza la gráfica de una función, nunca se debe acudir a graficar muchos puntos manualmente. Hay instrumentos digitales que permiten generar las gráficas, sin embargo, es importante que con ver la función puedas identificar el dominio de la función así como el rango y esto le dará una idea visual de la forma de la función.

El dominio de una función está dado por los valores que x puede tomar en el plano cartesiano y por el contrario, el rango está dado por los valores que y puede tomar en el plano cartesiano. 

Es importante recordar que en las funciones racionales q(x) debe ser diferente de cero, en las logarítmicas el argumento debe ser mayor a cero, si hay una raíz cuadrada los valores del discriminante deben ser igual a cero o mayor a cero. 

Has llegado al final de la sesión y como puedes observar, sigues abonando información valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando información realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la próxima sesión.

Fuentes de información

• https://hopelchen.tecnm.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r126544.PDF
• Zill, D. G., & Wrigth. W. S. (2011). Matemáticas 1: Cálculo Diferencial. México: MC Graw Hill.