Función inversa. Función implícita. Otro tipo de funciones (par, impar y transformada)
Introducción
¡Hola!
Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de Cálculo Diferencial, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con los temas FUNCIÓN INVERSA, FUNCIÓN IMPLÍCITA.
En la clase 3, se dio a conocer el concepto de una función, en el cual la regla de correspondencia es la más importante para definir una función, esta regla de correspondencia indica que a cada valor de x en su dominio X se asigna un solo valor o un valor único y en su rango. Esta regla no excluye el hecho de que el mismo número y se asocie con varios valores de x.
Si se quisieran determinar los elementos de entrada se presentaría un inconveniente debido a que, para el elemento de salida a B, existen dos valores en el conjunto A para los cuales se cumple que f(x)=a estos son x=2 y x=6, lo cual se debe a que la relación entre los conjuntos A y B no es uno a uno, la función es no inyectiva
Y es por ello, que se deben definir las funciones inversas.
En relación con lo anterior, te invito a proseguir. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Función inversa
Se dice que una función es uno a uno si cada número en el rango de f se asocia con exactamente un número en su dominio X.
Sea f una función inyectiva con dominio A y contradominio B, se define a su función inversa f-1 con dominio en B y contradominio en A como:
Si y sólo si f(x) = y para toda x∈B
Propiedades de la función inversa:
- Dominio de f-1= rango de f
- Rango de f-1= dominio de f
- Una función inversa f-1 es uno a uno
- La inversa de f-1 es f
- La inversa de f es única.
Proceso para encontrar una función inversa:
- Verificar que la función sea inyectiva, en caso de no serlo restringir el dominio donde la función sea inyectiva (función uno a uno)
- Sustituir f(x) por y
- Despejar la variable x
- Intercambiar x por y y y por x
- El intercambio es la función inversa y se escribe como f-1(x)
Ejemplo:
Determina la función inversa de
su dominio y rango.
Solución
Verificando que la función sea inyectiva es decir uno a uno (recuerda puedes graficar para asegurarte)
La función f(x) es inyectiva en su dominio de
Sustituyendo f(x) por y
Despejando x
Factorizando x
Factorizando y dividiendo -1
Cambiando x por y y y por x
Escribiendo como función inversa
Encontrando el dominio de la función inversa, como es una función polinomial solo se considera el polinomio q(x) por tanto, el dominio de la función es
y por la propiedad 1 el rango es
En la imagen que se presenta a continuación se observa que se cumplen las propiedades 1 y 2 de las funciones inversas. La línea azul representa la función y la línea roja representa la función inversa.
Ejemplo:
Encuentra la función inversa de f(x) = 5x – 7
Solución
La función es una función polinomial y lineal por lo tanto es una función inyectiva cuyo dominio y rango es el conjunto de los números reales.
Calculando la función inversa, despejando x
Cambio de variables y escritura de la función inversa.
La imagen muestra la función y la función inversa, la línea gris es la función f(x) = 5x – 7 y la línea verde representa la función inversa
se observa que el dominio y el rango de ambas funciones son todos los números reales y que se cumplen las propiedades 1 y 2.
Función exponencial y logarítmica
Si b > 0 y b ≠ 1, entonces una función exponencial y = f(x) es una función de la forma f(x) = bx . El número b se denomina base y x se denomina exponente. El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales.
Leyes de los exponentes
La función logarítmica con base b > 0 y b ≠ 1, se define por y = x si y sólo si x = by
Leyes de los logaritmos
Para cualquier base b>0 y b 1 y números enteros de M y N
Ejemplo:
Simplifique y escriba
como un logaritmo único
Solución
La ecuación tiene la forma iii por tanto se reescribirá.
Realizando las operaciones
Utilizando la propiedad i, se reescribe a
De las palabras a funciones
Todos los problemas matemáticos inician con una descripción verbal, lo cual debe traducirse a una función, y es lo que trataremos con los ejemplos que se plantean a continuación.
Ejemplo:
La suma de dos números no negativos es 5. Exprese el producto de uno y el cuadrado del otro como una función de uno de los números.
Solución
La primer parte del enunciado plantea que son dos números mayores que cero, lo que se puede escribir matemáticamente como: x ≥ 0 y y ≥ 0
Con esto se puede plantear x + y = 5
Para expresar como el producto es una multiplicación y elevar el otro al cuadrado P = xy2
Como se pide escribirlo en función de otro hay de despejar y sustituir, en este caso se despejara y para obtener una función de x
Ejemplo:
Un árbol se planta a 30 pies de la base de un poste que mide 25 pies de altura. Exprese la longitud de la sombra como una función de la altura.
Solución
Realiza el dibujo y utiliza el concepto de triangulo semejante para realizar el planteamiento de las ecuaciones.
Ejemplo:
Exprese la distancia de un punto (x, y) en el primer cuadrante sobre el círculos x2 + y2 = 1 hasta el punto (2, 4) como una función de x.
Conclusión
En conclusión, las funciones son ecuaciones que describen el comportamiento de predicciones de la vida real, recuerda que las funciones son modelos matemáticos que predicen comportamientos en puntos dados.
Una función tiene una variable dependiente y una independiente, lo que ayuda en las predicciones.
Es así como se concluye esta quinta sesión. ¡Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicación! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta la próxima sesión.
Fuentes de información
- Zill, D. G., & Wrigth. W. S. (2011). Matemáticas 1: Cálculo Diferencial. México: MC Graw Hill.