Clase digital 3. Centro de gravedad de áreas

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person throwing rock

Centro de gravedad de áreas

Introducción

¡Hola!

Espero que te encuentres muy bien al iniciar esta nueva clase, te mando un cordial saludo. En esta nueva sesión revisaremos los conceptos de centros de gravedad, así como los procedimientos para la obtención de los mismos en sistemas bidimensionales. El centro de gravedad de un sistema bidimensional nos permite simplificar un conjunto de cargas distribuidas en una sola carga equivalente en fuerza y posición. Los conocimientos adquiridos en esta sesión serán de gran uso en los casos donde tengamos cargas distribuidas en los problemas de estructuras y vigas. 

Espero que el contenido de esta sesión sea de tu agrado y la disfrutes.

Comencemos.

Desarrollo del tema

El Centro de Gravedad es el punto de un cuerpo en el cual se considera ejercida la fuerza de gravedad que afecta a la masa de dicho cuerpo, es decir, donde se considera ejercido el peso. También se conoce como centro de balance o centro de equilibrio.

Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional

Para iniciar, considere una placa plana horizontal. La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etc. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con W1, W2, . . . , Wn. Su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos:

Figura 1. Beer & Johnston, 2010.

Para obtener las coordenadas x y y del punto de Gravedad, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes x y y son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es:

Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, las siguientes expresiones:

Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y  del centro de gravedad G de una placa plana.

Centroides de áreas

En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud W del peso de un elemento de la placa puede expresarse como:

donde 𝛾 = peso específico (peso por unidad de volumen) del material, t  = espesor de la placa, A  = área del elemento.

En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como:

donde A es el área total de la placa.

Si se sustituye a ∆𝑊 y a 𝑊 en las ecuaciones de momento expresadas en la diapositiva anterior y se divide a todos los términos entre 𝛾𝑡, se obtiene:

Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite.

Estas ecuaciones definen las coordenadas 

x̄ y y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x̄  y y también se conoce como el centroide C del área A de la placa. Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, éstas aún definen al centroide del área.

Figura 2. Beer & Johnston, 2010.

Centroides de áreas comunes

En la Figura 3 se encuentran los centroides x̄ y y de geometrías comunes. Estos valores se obtienen por integración directa sobre las ecuaciones de las figuras geométricas. Estos valores se pueden utilizar para evaluar centroides de geometrías compuestas como se indica en la figura siguiente.

Figura 3. Beer & Johnston, 2010.

Geometrías compuestas

En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas comunes. La abscisa x̄  de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas x̄ 1, x̄ 2, . . . , x̄ n de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se encuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe:

Figura 4. Beer & Johnston, 2010.

Cuando el área compuesta tiene huecos, el área del hueco debe restarse en la sumatoria de los pesos y centroides de las geometrías simples.

Figura 4. Beer & Johnston, 2010.

Saber que conocer los procedimientos conlleva a realizar aplicaciones en la ingeniería química de forma segura y a valorar sus conocimientos adquiridos en el curso con la finalidad de crear una actitud de responsabilidad en la vida profesional.

Conclusión

Hemos concluido la clase, recuerda que es muy importante la comprensión de los conocimientos y procedimientos para calcular los centros de gravedad de una placa plana o de un área. Recordemos que el cálculo del centro de gravedad nos ayudará a poder representar una distribución de cargas en una sola carga representativa en magnitud y posición. 

Te comento que el tema visto en esta clase se seguirá utilizando en varios de los temas que se revisarán posteriormente en el curso.

Recuerda que puedes apoyarte en cualquier momento del material reportado en las fuentes de información. 

¡Te felicito por concluir esta sesión! Para continuar con tu aprendizaje te invito a realizar la tarea asignada. Te encuentro próximamente.

¡Éxito!

Fuentes de información