Equilibrio estático, apoyos y reacciones
Introducción
¡Hola!
Confiando en que te encuentres bien, te doy la más cordial bienvenida a la segunda clase de mecánica de sólidos, en esta sesión revisaremos los conceptos de equilibrio estático, los distintos tipos de apoyos y las reacciones que producen, así como los procedimientos para las reacciones originadas por los apoyos en sistemas de 2 y 3 dimensiones. Los conocimientos adquiridos en esta sesión forman la base para los procedimientos que realizaremos a lo largo del curso. Espero sea de tu agrado y disfrutes del contenido.
Comencemos.
Desarrollo del tema
Equilibrio estático
Cuando la fuerza y el momento resultante son iguales a cero, las fuerzas externas forman un sistema equivalente a cero y se dice que el cuerpo rígido se encuentra en equilibrio. Por tanto, las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden obtener igualando a cero F y a MO en las relaciones:
Si se descompone cada fuerza y cada momento en sus componentes rectangulares, se pueden expresar las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido por medio de las seis ecuaciones escalares que se presentan a continuación:
Las ecuaciones obtenidas se pueden emplear para determinar fuerzas desconocidas que están aplicadas sobre el cuerpo rígido o reacciones desconocidas ejercidas sobre éste por sus puntos de apoyo.
Reacciones en puntos de apoyo y conexiones para una estructura bidimensional
Las reacciones ejercidas sobre una estructura bidimensional pueden ser divididas en tres grupos que corresponden a tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o conexiones:
- Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen rodillos, balancines, superficies sin fricción, eslabones o bielas y cables cortos, collarines sobre barras sin fricción y pernos sin fricción en ranuras lisas. Cada una de estas reacciones involucra a una sola incógnita.
- Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas. Los apoyos y las conexiones que originan reacciones de este tipo incluyen pernos sin fricción en orificios ajustados, articulaciones o bisagras y superficies rugosas. Éstos pueden impedir la traslación del cuerpo rígido en todas direcciones pero no pueden impedir la rotación del mismo con respecto a la conexión. Las reacciones de este grupo involucran dos incógnitas.
- Reacciones equivalentes a una fuerza y un par. Estas reacciones se originan por apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo libre y, por tanto, lo restringen por completo. Las reacciones de este grupo involucran tres incógnitas, las cuales consisten en las dos componentes de la fuerza y en el momento del par.
Reacciones en puntos de apoyo y conexiones para una estructura tridimensional
En una estructura tridimensional, las reacciones abarcan desde una sola fuerza de dirección conocida, que ejerce una superficie sin fricción, hasta un sistema fuerza-par ejercido por un apoyo fijo. Por tanto, en los problemas que involucran el equilibrio de una estructura tridimensional pueden existir entre una y seis incógnitas asociadas con la reacción correspondiente a cada apoyo o conexión. Una forma sencilla de determinar tanto el tipo de reacción correspondiente a un apoyo o conexión dado, como el número de incógnitas involucradas, consiste en establecer cuáles de los seis movimientos fundamentales (traslación en las direcciones x, y y z y rotación con respecto a los ejes x, y y z) están permitidos y cuáles de estos movimientos están restringidos.
Equilibrio de un cuerpo rígido en dos dimensiones
Las condiciones establecidas en las ecuaciones 3 y 4 para el equilibrio de un cuerpo rígido se vuelven más simples para casos de estructuras bidimensionales.
Al seleccionar a los ejes x y y en el plano de la estructura, se tiene que:
para cada una de las fuerzas aplicadas sobre la estructura.
Por tanto, las seis ecuaciones de equilibrio derivadas (ecuaciones 3 y 4 ) anteriormente se reducen a:
donde A es cualquier punto en el plano de la estructura. Las tres ecuaciones obtenidas pueden resolverse para un máximo de tres incógnitas.
Equilibrio en tres dimensiones
Para el caso general de tres dimensiones, se requieren seis ecuaciones escalares para expresar las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido:
Estas ecuaciones pueden resolverse para un máximo de seis incógnitas que, generalmente, representarán reacciones en los apoyos o las conexiones.
En la mayor parte de los problemas, las ecuaciones escalares se obtendrán de modo más práctico si primero se expresan en forma vectorial las condiciones para el equilibrio del cuerpo rígido considerado.
Para ello se escribe:
y se expresan las fuerzas F y los vectores de posición r en términos de componentes escalares y vectores unitarios. Después, se calculan todos los productos vectoriales, ya sea mediante cálculo directo o con determinantes (vea la sección 3.8). Se observa que a través de una selección cuidadosa del punto O se pueden eliminar de los cálculos hasta tres componentes desconocidos de las reacciones. Al igualar a cero los coeficientes de los vectores unitarios en cada una de las dos relaciones, se obtienen las ecuaciones escalares deseadas.
Cálculo de reacciones en los apoyos
Para calcular las reacciones en los apoyos se deben seguir los siguientes pasos:
- Determinar el número de reacciones de acuerdo al apoyo establecido, para esto se utilizan las tablas presentadas en la sección 1 y 2 de este documento.
- Generar el diagrama de cuerpo libre para establecer todas las fuerzas y reacciones que existen sobre las estructuras o máquinas.
- Calcular todas las reacciones estableciendo condiciones de equilibrio para la estructura completa o máquina.
Al resolver un problema relacionado con el equilibrio de un cuerpo rígido es esencial que se consideren todas las fuerzas que actúan sobre éste; además, es importante excluir cualquier fuerza que no es té dado directamente sobre dicho cuerpo. Omitir o agregar una fuerza extraña podría destruir las condiciones de equilibrio. Por tanto, el primer paso en la solución del problema es esquematizar un diagrama de cuerpo libre del cuerpo rígido en consideración.
Saber que conocer los procedimientos conlleva a realizar aplicaciones en la ingeniería química de forma segura y a valorar sus conocimientos adquiridos en el curso con la finalidad de crear una actitud de responsabilidad en la vida profesional.
Conclusión
Para concluir, recuerda que es muy importante la obtención de los conocimientos y procedimientos vistos en esta sesión, como lo son la definición de equilibrio y el cálculo de las reacciones en los apoyos, para lo que resta del curso. Recordemos que las reacciones generadas sobre los apoyos son las fuerzas que soportan la estructura o elemento y que el número de fuerzas dependen del tipo de apoyo.
Te comento que el cálculo de las reacciones en los apoyos se realizará en la mayoría de los temas que restan del curso, por lo cual si tienes alguna duda es mejor aclararla desde ahora.
Puedes apoyarte en cualquier momento del material reportado en las fuentes de información.
Te invito a que continúes con la aplicación de los conocimientos adquiridos mediante la realización de la consigna asignada a esta sesión.
¡Éxito!
Fuentes de información
- Beer, F., y Johnston, E. R. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros; Estática. (6a ed.). México: Mc Graw Hill. Pp. 160-190.
- https://campusdigital.ugto.mx/pluginfile.php/353447/mod_resource/content/2/SESI%C3%93N%204.pdf
- https://www.youtube.com/watch?v=mVQRXLlcRZA