Componentes de una matriz y tipos de matrices
Introducción
¡Hola!
Qué gusto saber de ti en esta nueva clase, espero que sigas encontrando fascinante este curso de Álgebra Lineal, en esta ocasión tenemos el tema de componentes de una matriz y algunos tipos de matrices que podemos encontrar.
Para esta sesión se pretende identificar las componentes de una matriz y algunos tipos de matrices particulares (como la matriz triangular y la matriz identidad) que serán útiles para las siguientes sesiones. Por ahora, definiremos las componentes de toda matriz y su nomenclatura, lo que nos ayudará a entender los conceptos de matriz triangular superior e inferior que son una representación clave para resolver cualquier sistema de ecuaciones por muy complejo que sea, de una manera mucho más simple, o bien, determinar si dicho sistema es indeterminado o inconsistente.
Una vez definidos los conceptos clave, abordaremos en la siguiente sesión el procedimiento estándar para aplicar el Método de Gauss – Jordan. Finalmente, recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible.
De acuerdo con lo anterior, te invito a proseguir.
Desarrollo del tema
Una matriz se denomina normalmente con letras mayúsculas, por ejemplo:
Cada matriz se compone de:
- Renglones
- Columnas
Los renglones son las hileras horizontales de cada matriz y las representaremos como R.
Las columnas son las hileras verticales de cada matriz y las representaremos como C.
Las componentes de una matriz corresponden al valor resultante de la intersección de una columna con un renglón y se representan con la letra minúscula de la matriz (en este caso b), seguido de un subíndice con dos cifras (la primera representa al renglón, la segunda a la columna).
En las matrices cuadradas se considera diagonal principal al conjunto de componentes cuya ubicación de un renglón sea el mismo que su ubicación de una columna.
Si los componentes debajo de la diagonal valen cero, entonces se trata de una matriz triangular superior.
En cambio, si los componentes encima de la diagonal valen cero, entonces se trata de una matriz triangular inferior.
La Matriz Identidad se representa con la letra i mayúscula (I) y consta únicamente de números uno en su diagonal principal y de ceros en el resto de sus componentes:
Estos tipos de matrices (triangulares y la identidad) tienen aplicaciones muy útiles que revisaremos en los temas correspondientes. Por el momento, reiteramos la importancia de conocer las partes de las matrices, su nomenclatura y algunas de sus formas generales que podemos encontrarnos.
Conclusión
En resumen, en esta sesión abordamos las diferentes partes de una matriz y algunos tipos generales que podemos encontrar.
Definimos que las matrices se componen de:
- Renglones: Son las hileras horizontales de cada matriz y las representaremos como R.
- Columnas: Las columnas son las hileras verticales de cada matriz y las representaremos como C.
- Componentes: Son la intersección de una columna con un renglón.
- La diagonal principal: Es el conjunto de componentes cuya ubicación de un renglón sea el mismo que su ubicación de una columna.
A partir de los elementos anteriores definimos dos tipos de matrices muy útiles:
- Matriz triangular: Si los valores de las componentes encima de la diagonal principal de una matriz son cero, entonces se trata de una matriz triangular inferior: En caso de que las componentes debajo de la diagonal principal valen cero, entonces se considera como matriz triangular inferior.
- Matriz identidad: Ocurre cuando los valores de la diagonal principal equivalen a uno (1), mientras que el resto de los componentes vale cero (0).
Esta identificación de las partes de una matriz y los tipos particulares de matrices nos será útil para las siguientes sesiones.
Has llegado al final de la sesión y como puedes observar sigues abonando información valiosa a tu aprendizaje, te invito a continuar sumando información realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la próxima sesión.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.