Método de Gauss – Jordan
Introducción
¡Hola!
Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el ánimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada el Método de Gauss – Jordan y su utilidad al calcular el valor de las incógnitas en un sistema de ecuaciones del curso Álgebra Lineal.
El método de Gauss – Jordan hace uso de las operaciones elementales dado que, al conservarse el valor de las incógnitas, es posible obtener sistemas de ecuaciones más simples y así obtener los valores de manera directa.
Ya hemos definido las componentes de toda matriz y su nomenclatura, así como los conceptos de matriz triangular que es una representación clave para resolver cualquier sistema de ecuaciones por muy complejo que sea, de una manera mucho más simple, o bien, determinar si dicho sistema es indeterminado o inconsistente.
Una vez definidos los conceptos clave, abordamos el procedimiento estándar para aplicar el Método de Gauss – Jordan, aunque debe quedar claro que en algunos sistemas de ecuaciones es posible omitir pasos o cambiar el orden, por ejemplo, permutando renglones para facilitar el procedimiento. A pesar de lo anterior, se recomienda conocer el procedimiento tradicional, toda vez que esto facilitará una futura programación de sistemas de ecuaciones a nivel general.
Te invito a continuar la sesión, ¡mucho éxito!
Desarrollo del tema
Recordemos que un sistema de ecuaciones se puede representar como una matriz aumentada:
El método de Gauss – Jordan consiste en aplicar operaciones elementales para obtener una matriz triangular superior:
Los pasos generales son:
- Divide todo el primer renglón entre la componente a11.
- Convierte todos los demás valores de esa columna en ceros:
- Al segundo renglón (R2) se le restará el primer renglón multiplicado por la componente a21.
- Al tercer renglón (R3) se le restará el primer renglón multiplicado por la componente a31.
- Divide todo el segundo renglón entre la componente a22.
- Repite todo el proceso para las demás columnas hasta obtener la forma deseada.
Teniendo la matriz triangular superior, podemos convertirla a la forma tradicional y resolver de forma escalonada para determinar el valor de las incógnitas:
Revisemos el siguiente ejemplo:
- Poseemos un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas y lo convertimos a su representación matricial:
Antes que nada, revisemos la nomenclatura:
Como primer paso dividimos el primer renglón R1 entre la componente a11 :
Como segundo paso se requiere «convertir» las componentes inferiores de la componente a11 en ceros (0):
Al tercer renglón (R3) se le restará el primer renglón multiplicado por la componente a31.
Se procede a dividir el segundo renglón R2 entre la componente a22 :
Ahora se repite todo el proceso para las demás columnas hasta obtener la forma deseada.
Finalmente, convertimos al sistema convencional de ecuaciones:
Se observa que una vez que nos encontramos en esta forma triangular es posible obtener los resultados de forma escalonada, es decir, el valor de Z se obtiene directamente y su valor se sustituye en la ecuación superior, obteniendo el valor de Y. Ambos valores (Z y Y) se sustituyen en la primera ecuación y se obtiene el valor de X.
Conclusión
En conclusión, hemos visto que el método de Gauss – Jordan consiste en aplicar operaciones elementales para obtener una matriz triangular superior.
El procedimiento estándar es el siguiente:
- Divide todo el primer renglón entre la componente a11.
- Convierte todos los demás valores de esa columna en ceros:
- Al segundo renglón (R2) se le restará el primer renglón multiplicado por la componente a21.
- Al tercer renglón (R3) se le restará el primer renglón multiplicado por la componente a31.
- Divide todo el segundo renglón entre la componente a22.
- Repite todo el proceso para las demás columnas hasta obtener la forma deseada.
Teniendo la matriz triangular superior, podemos convertirla a la forma tradicional y resolver de forma escalonada para determinar el valor de las incógnitas:
Hasta aquí se concluye la clase. ¡Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu próxima clase, hasta entonces.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.