Clase digital 5: Suma de matrices y multiplicación escalar

Suma de matrices y multiplicación escalar

Introducción

¡Hola!

Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de Álgebra Lineal, espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con los temas SUMA DE MATRICES y MULTIPLICACIÓN ESCALAR.

En esta sesión abordaremos dos operaciones de importancia con matrices:

• Suma de matrices
• Multiplicación escalar

Aprenderás entre otras cosas, las condiciones que deberán poseer las matrices involucradas en este tipo de operaciones para fin de su correcta realización y tendrás la oportunidad de analizar los procedimientos que te serán de ayuda para dar solución a las sumas de matrices y multiplicación escalar a través de un ejemplo de las mismas.

Finalmente, recuerda que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Seguimos en contacto. Asimismo, espero que esta sesión sea de tu agrado. 

¡Te deseo muchísimo éxito!

Desarrollo del tema

En esta sesión abordaremos dos operaciones matriciales importantes y son:

• Suma de matrices
• Multiplicación escalar

Dos o más matrices pueden sumarse siempre que sean del mismo tamaño (con el mismo número de renglones y de columnas). 

Por ejemplo, de las siguientes matrices sólo es posible sumar la matriz B con la matriz I, mientras que ninguna de ellas puede sumarse con la matriz P.

Una vez verificado que sean del mismo tamaño, entonces sumamos cada componente de una matriz con la misma componente de la otra. 

• Por ejemplo, b₁₁ + i₁₁, b₁₂ + i₁₂, b₁₃ + i₁₃, y así sucesivamente. 

O bien, B + I =

Por otro lado, en la multiplicación escalar sí importa el orden de las matrices al multiplicarse. Y sólo es posible hacer una multiplicación cuando el número de renglones de la primera matriz es igual al número de columnas de la segunda matriz. 

Un vector renglón (que es una matriz de 1 renglón por “n” columnas) puede multiplicarse por un vector columna (que es una matriz de “n” renglones por 1 columna) y así obtener un resultado escalar.

Para ello, el primer componente del renglón se multiplica por el primer componente de la columna, el segundo componente del renglón se multiplica por el segundo de la columna y el tercer componente del renglón se multiplica por el tercero de la columna. Los tres resultados se suman.

• Una multiplicación escalar requiere que el número de columnas de la primera matriz sea similar al número de renglones de la segunda matriz. 
• Nótese que, si multiplicamos el vector M de 1 x 3 por P de 3 x 1, se obtiene un resultado escalar de 1 x 1. Sin embargo, si multiplicamos P por M (es decir, invertimos los multiplicandos), entonces obtenemos una matriz de 3 x 3. 
• Por lo tanto, es importante revisar el orden de la multiplicación de matrices.

Conclusión

En conclusión, hemos visto que el tamaño de las matrices es importante al momento de realizar operaciones entre ellas:

1. Para la suma de matrices, requerimos que todas ellas sean del mismo tamaño, es decir, el mismo número de renglones y de columnas. No importa el orden en que sumemos el resultado será el mismo. 
2. Para el producto escalar es necesario considerar el orden de la multiplicación, pues es importante que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda matriz. 

El producto escalar (resultado de multiplicar un renglón por una columna) da como resultado un solo valor. Para ello, el primer componente del renglón se multiplica por el primer componente de la columna, el segundo componente del renglón se multiplica por el segundo de la columna y el tercer componente del renglón se multiplica por el tercero de la columna y así sucesivamente. Todos los resultados anteriores se suman. 

Es así como se concluye pues con esta quinta sesión. ¡Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicación! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.

Fuentes de información

• Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5^a ed.). México: McGraw-Hill.
• Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5^a ed.). México: Limusa Wiley.
• Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.