Multiplicación de matrices
Introducción
¡Hola!
Es un placer encontrarte, espero que sigas gozando de una excelente salud y tengas buen ánimo por aprender cosas nuevas de este curso, por ello te invito a la sexta clase titulada Multiplicación de matrices del curso Álgebra Lineal.
Para esta sesión se pretende definir las condiciones para poder multiplicar matrices y aclarar la importancia del orden de las matrices que se multiplicarán. Por ahora, hemos visto el procedimiento en que se realiza un producto escalar, lo que queda ahora es hacer uso de esta técnica para las diferentes celdas producto de alguna multiplicación.
Una vez definida la multiplicación de matrices, podremos ser capaces de hacer uso de estas técnicas para la resolución de ecuaciones lineales.
Entendido lo anterior, te invito a continuar la clase.
Desarrollo del tema
En la multiplicación de matrices es muy importante observar el orden de los elementos a multiplicar. Por ejemplo, el resultado de multiplicar la matriz A por la matriz B normalmente es diferente de multiplicar la matriz B por la matriz A.
Además, sólo es posible multiplicar dos matrices si el número de columnas de la primera matriz es similar al número de renglones de la segunda matriz.
- Si la matriz A mide “m” renglones por “n” columnas.
- Entonces la matriz B debe medir “n” renglones por “p” columnas.
Donde “m”, “n” y “p” son números finitos diferentes de cero. NOTA: Pueden o no coincidir los valores.
El resultado de cada producto escalar se coloca en la intersección del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda matriz.
Ejemplo:
- Si multiplicamos la matriz B de 3×3 por la matriz I de 3×3:
Recuerda:
- Se reitera el orden de la multiplicación. Es diferente multiplicar B x I comparado a multiplicar I x B. En este ejemplo, se multiplicará B x I.
- La primera matriz (B) consta de 3 columnas, mientras que la segunda matriz (I) posee 3 renglones. Son similares, por lo tanto, es posible efectuar la multiplicación.
- El resultado de la matriz será de 3 renglones (igual a la primera matriz) por 3 columnas (igual a la segunda matriz).
- El resultado de cada producto escalar se coloca en su lugar correspondiente.
Entonces:
Desglose de operaciones para una multiplicación de matrices de 3 x 3
- c11 = a11*b11 + a12*b21 + a13*b31 (son los elementos señalados en rojo)
- c12 = a11*b12 + a12*b22 + a13*b32
- c13 = a11*b13 + a12*b23 + a13*b33
- c21 = a21*b11 + a22*b21 + a23*b31
- c22 = a21*b12 + a22*b22 + a23*b32
- c23 = a21*b13 + a22*b23 + a23*b33
- c31 = a31*b11 + a32*b21 + a33*b31
- c32 = a31*b12 + a32*b22 + a33*b32
- c33 = a31*b13 + a32*b23 + a33*b33
NOTA: Observa que cada componente del resultado (C) está en la intersección de columna y renglón que se multiplicaron.
Conclusión
Para concluir el tema recordemos lo siguiente:
- Se reitera el orden de la multiplicación. Es diferente multiplicar A x B comparado a B x A.
- Es necesario que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de renglones de la segunda matriz a multiplicar.
- El tamaño del producto de dos matrices es igual al número de renglones de la primer matriz y al número de columnas de la segunda matriz.
- Debe hacerse uso de la técnica de multiplicación escalar.
- El resultado de cada multiplicación escalar se coloca en la intersección del renglón y la columna que se multiplicaron.
Es así que con esta breve conclusión, terminamos la clase y te doy una ¡gran felicitación por este logro! No olvides realizar y enviar correctamente y a tiempo la tarea asignada. Te espero en tu siguiente clase.
Fuentes de información
- Grossman, S. I. (2004). Algebra Lineal y sus Aplicaciones. (5a ed.). México: McGraw-Hill.
- Anton, H. (2011). Introducción al Algebra Lineal. (5a ed.). México: Limusa Wiley.
- Campbell, H. G. (1980). Linear Algebra with Applications. Atlanta: Prentice-Hall.