Ecuaciones diferenciales lineales
Introducción
¡Hola!
¡Qué gusto saber de ti en esta nueva clase!, espero que sigas encontrando fascinante este curso de Ecuaciones Diferenciales, en esta ocasión estudiaremos el tema de ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES, en el que aprenderás a resolver ecuaciones diferenciales de orden superior utilizando alguno de los siguientes métodos:
- Independencia lineal y Wronskiano
- La ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes
- El método de coeficientes indeterminados
- El método de variación de parámetros
- La ecuación de Cauchy-Euler
El método a utilizar dependerá del tipo de ecuación que se esté analizando. Debido a que en este curso aplicaremos algunas herramientas de integración, te reitero la importancia de contar con los conocimientos necesarios para el desarrollo de las mismas, para lo cual considero te será de mucha ayuda repasar el curso de Cálculo Integral, y así puedas aprender lo mejor posible.
Dicho esto, damos inicio a la clase.
Desarrollo del tema
Independencia lineal y Wronskiano
Se dice que un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las que se cumple la ecuación 3.1 para toda x en el intervalo son c1=c2=⋯=cn=0, (Zill G. D., 2009).
f1(x)x+ c2f2(x)+c3f3(x)+…+cnfn(x)=0 (3.1)
En la solución de ecuaciones diferenciales es importante señalar que las soluciones que interesan son las que son linealmente independientes. Sin embargo utilizar la ecuación 3.1 para saber si son linealmente independientes puede ser confuso pero se puede saber realizando un determinante llamado el Wronskiano (ver ecuación 3,2). Esto es, las soluciones son linealmente independientes si y solo si el Wroskiano es diferente de cero.
Para comprender un poco más este tema realizaremos el siguiente ejemplo:
Las funciones y1 = e3x y y2 = e–3x son soluciones de la ecuación lineal homogénea y»-9y = 0. En el intervalo (-∞, ∞). Demostrar que estas soluciones son linealmente independientes.
Solución.
Para corroborar esto debemos de realizar el Wronskiano de las soluciones, como lo muestra la ecuación 3.3, donde el Wronskiano es diferente de cero por lo tanto las funciones son linealmente independientes.
Para profundizar un poco más en el tema puedes consultar el siguiente video:
La ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes.
Para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden utilizando el método de la ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben de seguir los siguientes pasos:
- Determinar la ecuación característica.
- Calcular las soluciones de la ecuación característica.
- Ver qué tipo de solución presenta la ecuación característica y aplicar la solución, pueden resultar 3 casos:
- Caso 1. Las raíces son distintas, es decir se tienen raíces reales y distintas; la solución que se aplica tiene la siguiente forma: y = c1em1x + c2em2x
- Caso 2. Raíces reales e iguales, en este caso, se aplica la siguiente solución: y = c1em1x + c2em1x
- Caso 3. Raíces complejas conjugadas; se emplea la siguiente solución:
Para tener una mejor comprensión en cuanto a las bases teóricas empleadas para seguir estos pasos, consulta el siguiente video:
A continuación veamos un ejemplo llevando a cabo los pasos indicados:
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial 2y»-5y’-3y=0, utilizando el método de la ecuación homogénea con coeficientes constantes.
Solución.
Siguiendo los pasos descritos anteriormente, lo primero es determinar la ecuación característica la cual se muestra en la ecuación 3.4
2m2 – 5m – 3 = 0 (3.4)
Para resolver la ecuación 3.4 se puede emplear cualquier método para la solución de ecuaciones cuadráticas. El método que se utilizará para resolverla en esta caso será por medio de factorización, de tal manera que queda la ecuación 3.5.
2m2 – 5m – 3 = (2m + 1)(m – 3) = 0 (3.5)
Método de coeficientes indeterminados.
Antes de comenzar, es importante mencionar que este método se utiliza solamente para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, es decir donde la ecuación no es igual a cero sino a una función g(x). Los pasos que se deben de seguir son los siguientes:
- Resolver la ecuación homogénea asociada, denominada yc
- Se supone una solución particular de la forma cuadrática como: yp = Ax2 + Bx + c
- Determinar los coeficientes A, B y C para los cuales yp sea una solución de la ecuación a resolver.
- Sustituir e igualar los coeficientes de potencia de x para hallar una solución en yp.
- La solución general será la suma de la solución de la ecuación homogénea y la particular, esto es: y = yc + yp
Para tener una mejor comprensión en cuanto a las bases teóricas empleadas para seguir estos pasos y la solución de ecuaciones utilizando este método, consulta los siguientes videos:
Método de variación de parámetros
El método de variación de parámetros también se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de la forma y» + P(x)y’ + Q(x)y = f(x). Es importante mencionar que, si la ecuación diferencial no tiene esta forma lo primero es ponerla en esta forma para de esta manera solo llevar a cabo los siguientes pasos:
- Resolver la ecuación homogénea asociada, denominada yc.
- Se identifican las soluciones de yc y se calcula el Wronskiano W = |y1 y2 y1‘ y2‘|
- Se identifica f(x) para llevar a cabo el wronskiano utilizando las siguientes fórmulas:
4. Una vez calculados los Wronskianos se utilizan para calcular las funciones desconocidas u1 y u2 primeramente utilizando las siguientes fórmulas y después integrando:
5. Calcular yp de acuerdo a la siguiente solución: yp = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)
6. Finalmente la solución general será la suma de la solución de la ecuación homogénea y la particular, esto es: y = yc + yp
Para tener una mejor comprensión en cuanto a las bases teóricas empleadas para seguir estos pasos y la solución de ecuaciones utilizando este método, consulta el siguiente video:
La ecuación de Cauchy-Euler
El método de solución utilizando la ecuación de Cauchy-Euler es empleado para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.
Se dice que una ecuación diferencial con coeficientes variables de la forma que se muestra en la ecuación 3.7 es llamada ecuación de Cauchy-Euler, donde sus coeficientes en a son constantes y la potencia a la que está elevada la variable x coincide con el orden de la diferenciación.
Para resolver ecuaciones con coeficientes variables se siguen los siguientes pasos:
- Se determina la función complementaria yc(x)
- Se resuelve la ecuación no homogénea con el método de variación de parámetros.
- Se propone una solución de la forma y = xm
- Se ven las soluciones propuestas de acuerdo a sus raíces.
Para tener una mejor comprensión en cuanto a las bases teóricas empleadas para seguir estos pasos y la solución de ecuaciones utilizando este método, consulta el siguiente video:
Conclusión
En resumen, en esta clase conociste diferentes métodos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden y de orden superior, lo cual resumimos en los siguientes puntos:
- Se utiliza el Wronskiano para saber si las soluciones de una ecuación diferencial son linealmente independientes.
- Para resolver una ecuación diferencial utilizando el método de la ecuación homogénea con coeficientes constantes, se hace uso de una ecuación característica que se resuelve utilizando métodos convencionales para ecuaciones lineales de segundo orden o de orden superior y sustituyéndolos en una solución propuesta.
- El método de coeficientes indeterminados se utiliza solamente para resolver ecuaciones lineales no homogéneas.
- El método de variación de parámetros también se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de la forma: y» + P(x)y’ + Q(x)y = f(x).
- El método de solución utilizando la ecuación de Cauchy-Euler es empleado para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables.
Has llegado al final de la sesión y como puedes observar tu aprendizaje se sigue enriqueciendo, te invito a continuar sumando información realizando la tarea asignada a esta clase. Recuerda que te espero en la próxima sesión.