Solución de ecuaciones diferenciales lineales usando series de potencia
Introducción
¡Hola!
Siempre es un gusto saludarte y saber que tienes el ánimo para continuar, te invito a seguir en este camino formativo en tu cuarta clase titulada SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES USANDO SERIES DE POTENCIA del curso Ecuaciones Diferenciales.
Esta vez aprenderás a resolver ecuaciones diferenciales utilizando series de potencia. Comenzaremos definiendo una serie de potencia y sus propiedades, después la solución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios y de puntos singulares utilizando el método de Frobenius y finalmente una función especial llamada función de Bessel.
Es importante que sepas que existen ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables que no se pueden resolver en términos de funciones elementales, por tal motivo se usa la técnica para encontrar una solución en forma de una serie finita, es decir, habrá ecuaciones diferenciales que no se puedan resolver por ninguno de los métodos anteriormente vistos y que solo se puedan resolver utilizando el método de series de potencia. Ahora que conoces la importancia de este tema, te invito a que continúes conociendo más acerca de este método que es de suma importancia para la solución de ecuaciones diferenciales.
¡Te deseo mucho éxito en esta clase!
Desarrollo del tema
Introducción al uso de series de potencia
Una serie de potencia en x centrada en a, es una serie infinita de la forma
Mientras que una serie de potencia en x centrada en cero tiene la siguiente forma
Es importante saber las principales propiedades de una serie de potencia para poder emplearlas en la solución de ecuaciones diferenciales, por tal motivo mencionaremos algunas:
- Toda serie de potencia tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.
- Se puede calcular el radio de convergencia si el límite existe en la siguiente ecuación
3. Dado un valor de x, una serie de potencias es una serie de constantes.
4. Una serie de potencias define una función.
5. Las series de potencias se pueden manipular mediante las operaciones de suma, multiplicación y división.
6. Para sumar dos series de potencia es necesario que ambos índices de las sumatorias comiencen con el mismo número y que las potencias en x empiecen en el mismo número.
7. Si
para todo número real x en el intervalo de convergencia, entonces Cn = 0 para toda n.
8. Muchas de las funciones elementales se pueden representar en series de potencias por ejemplo: ex, senx, cosx, etc.
Solución de ecuaciones diferenciales utilizando series de potencia.
Para resolver una ecuación diferencial utilizando el método de series de potencia, se deben seguir los pasos que se muestran a continuación:
1. Se busca una solución de la ecuación diferencial que pueda expresarse como una serie de potencia, por ejemplo, que tenga la forma como lo muestra la ecuación 4.1.
2. Sacar las derivadas de la ecuación 4.1 de acuerdo con la ecuación diferencial. La ecuación 4.2 muestra la derivada de la ecuación 4.1.
3. Sustituir las series en la ecuación diferencial.
4. Encontrar los coeficientes del polinomio infinito.
5. Encontrar la solución de la ecuación diferencial.
Para que quede un poco más claro este procedimiento resolveremos un ejemplo.
Ejemplo: Determinar la solución de la ecuación 4.3 como una serie de potencias en x.
Primeramente se supone que la solución tiene la forma de la ecuación 4.1 y que su derivada es de la forma de la ecuación 4.2, por lo tanto se pueden sustituir en la ecuación 4.3 como lo muestra la ecuación 4.4.
De la ecuación 4.4 del segundo término se puede meter x a la sumatoria quedando la ecuación 4.5.
De esta manera para sumar las dos series de potencia tenemos que seguir los criterios antes mencionados: que ambos índices comiencen en cero y que el número de la potencia en x comience en el mismo número. Para esto desarrollamos los términos de cada una de las series de potencia. De esta manera para el primer término quedaría como lo muestra la ecuación 4.6 y para el segundo término como lo muestra la ecuación 4.7.
De las ecuaciones 4.6 y 4.7 se puede observar que el número de potencia con el cual coinciden es 1 y para tener el mismo índice en la sumatoria es necesario hacer un cambio de variable, en este caso por k, en donde para la ecuación 4.6 k=n-1 y para la ecuación 4.7 k=n+1. De esta manera la ecuación 4.6 y 4.7 quedan como lo muestran las ecuaciones 4.8 y 4.9 respectivamente.
De esta manera ya se pueden resolver las sumatorias y sustituir las ecuaciones 4.8 y 4.9 en la ecuación 4.5 como lo muestra la ecuación 4.10.
Sumando términos semejantes se obtiene la ecuación 4.11.
De esta manera para que la ecuación 4.11 se satisfaga y sea idéntica a cero, es necesario que los coeficientes de las potencias iguales de x sean cero, esto es:
Sustituyendo para cuando k = 1, tenemos:
Sustituyendo para cuando k = 2, tenemos:
Sustituyendo para cuando k = 3, tenemos:
Sustituyendo para cuando k = 4, tenemos:
Sustituyendo para cuando k = 5, tenemos:
De acuerdo a la sustitución de k, te puedes dar cuenta que los términos cuando k es un número par son ceros y que la solución propuesta en la ecuación 4.1 quedaría como lo muestra la ecuación 4.12.
De la ecuación 4.12 se puede factorizar C0 y usar el factorial como lo muestra la ecuación 4.13.
Finalmente hay que ver si la serie que muestra la ecuación 4.13 se puede poner en forma de una sumatoria, para esto se sabe que los términos impares son cero por lo tanto el subíndice para números pares que se puede utilizar es 2n y de esta manera se obtiene la solución de la ecuación diferencial mostrada en la ecuación 4.14.
Para comprobar que la sumatoria que se propone está bien y dará los términos de la ecuación 4.13 se puede ir dando valores a n en la ecuación 4.14 como lo muestra la sumatoria.
Para profundizar más sobre este tema puedes consultar el siguiente video:
Para el tema de la solución de ecuaciones utilizando el método de Frobenius consulta el siguiente video:
Finalmente para el tema de solución de ecuaciones diferenciales utilizando la función de Bessel consulta el siguiente video:
Conclusión
En conclusión, tuviste la oportunidad de conocer uno de los métodos más importantes en la solución de ecuaciones diferenciales y algunas propiedades que son de utilidad por tratarse de una nueva herramienta en la solución de ecuaciones diferenciales de cualquier orden y, que además con otros métodos no se pueden resolver. Por lo anterior, es importante recordar los siguientes puntos de reconocimiento para llevar a cabo el método de series de potencia:
- El método consiste en buscar una solución de la ecuación diferencial que pueda expresarse como una serie de potencias.
- Se saca la derivada de la solución en series de potencia.
- Se sustituyen las series de potencias obtenidas en la ecuación diferencial.
- Se suman las ecuaciones diferenciales tomando en cuenta los criterios vistos.
- Se busca el valor de los coeficientes de la serie de potencias que se propuso como solución.
- Se sustituye el valor de los coeficientes en la serie de potencias.
- Se busca reducir el polinomio que se obtuvo en una nueva serie de potencia.
- Finalmente se obtiene la solución.
Hasta aquí se concluye la clase. ¡Te felicito, vas muy bien! Te recuerdo que depende mucho de tu entusiasmo por aprender. No olvides hacer y mandar como corresponde la tarea asignada. Te espero en tu próxima clase, hasta entonces.