La transformada de Laplace
Introducción
¡Hola!
Me siento muy feliz al saber que sigues aprovechando este curso de Ecuaciones Diferenciales y espero que lo sigas disfrutando, por lo tanto, te invito a comenzar nuestra quinta clase con el tema LA TRANSFORMADA DE LAPLACE, en el que iniciaremos con una introducción a la transformada de Laplace y sus propiedades básicas, posteriormente veremos la transformada inversa y para finalizar se resolverán ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes utilizando el método de la transformada de Laplace.
Es importante que sepas que la transformada de Laplace es una transformada que convierte una función de una variable real en el dominio del tiempo a una función de variable compleja en el dominio de la frecuencia (s). Su estudio es fundamental ya que Laplace demostró cómo transformar las ecuaciones diferenciales que están en el dominio del tiempo a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia, y de esta manera es mucho más fácil encontrar la solución de la ecuación diferencial, ya que al tener ecuaciones algebraicas comunes se puede aplicar cualquier método para la solución de ecuaciones algebraicas como factorización, completando el cuadrado perfecto, por fórmula general, etc. Una vez que se obtiene la solución de la ecuación algebraica se utiliza la transformada inversa para mostrar la solución en el dominio del tiempo.
El operador de la transformada de Laplace está representado en la ecuación 5.1
L (5.1)
Por definición la transformada de Laplace de una función se representa como lo muestra la ecuación 5.2.
Para profundizar en el tema puedes consultar el siguiente video:
No olvides que lo importante es que logres aprender lo mejor posible. Te invito a continuar conociendo más acerca de este método para la solución de ecuaciones diferenciales. Espero que esta sesión sea de tu agrado.
Continuemos con la clase. ¡Éxito!
Desarrollo del tema
Propiedades de la transformada de Laplace
Ahora que sabes la importancia del método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales es necesario que comprendas las propiedades básicas de la transformada de Laplace para poder aplicarlas al resolver ecuaciones diferenciales.
Linealidad
La transformada de Laplace tiene la propiedad de linealidad es decir, en una ecuación con varias funciones, se puede calcular la transformada de Laplace de cada término y de cada una de las funciones por separado como lo muestra la ecuación 5.3, cabe mencionar que las constantes salen de la transformada de Laplace.
Teorema de traslación
Cuando se quiera realizar la transformada de Laplace de una función multiplicado por una exponencial, se puede usar el teorema de traslación como lo muestra la ecuación 5.4.
Donde la transformada de Laplace de una función en el tiempo es igual a la función pero en el dominio de la frecuencia como lo muestra la ecuación 5.5.
Teorema de la convolución
Si f * g representa la convolución de las funciones f y g, entonces al calcular la transformada de Laplace se puede sacar la transformada de cada una de las funciones y multiplicarlas como lo muestra la ecuación 5.6.
Teorema de la transformada de la derivada
Este teorema se muestra en la ecuación 5.7 donde F(s) = L{f(t)} y su finalidad es cancelar la derivada del orden que sea con tan solo multiplicar la variable s elevada al orden de la derivada por la función y le resta sus condiciones iniciales.
La ecuación 5.8 muestra la transformada de Laplace de la primera derivada, donde se ve que se multiplica por s la transformada de Laplace de la función menos su condición inicial, es importante señalar que si no se cuenta con las condiciones iniciales ese término es igual a cero.
Aplicando este teorema para la segunda derivada se obtiene la ecuación 5.9, donde se ve que ahora se multiplica F(s) por s2 para así eliminar la segunda derivada y se le restan las condiciones iniciales, de la misma manera si no existen condiciones iniciales esos términos son igual a cero.
Teorema de la transformada de la Integral
La ecuación 5.10 muestra cómo se aplica este teorema cuando se calcula la transformada de Laplace a una integral, esto es, se multiplica por 1 entre s la transformada de la función.
El teorema de la transformada de la derivada como el de la integral son muy importantes ya que se utilizarán para aplicar el método de solución de ecuaciones diferenciales utilizando el método de la transformada de Laplace. Hay muchas más propiedades y teoremas de la transformada de Laplace sin embargo las que acabas de aprender son las más importantes en cuanto a la solución de ecuaciones diferenciales por el método de la transformada de Laplace.
Para profundizar en el tema de las propiedades y teoremas de la transformada de Laplace puedes consultar el siguiente video:
También existen tablas de algunas funciones básicas como las que se muestran en la tabla 1, que pueden ayudar a realizar la transformada de Laplace de una forma más simple.
La transformada inversa
Antes de comenzar a ver el método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales es importante ver la transformada inversa de Laplace. Esto consiste, en pasar la solución que se encuentra en el dominio de la frecuencia al dominio del tiempo como originalmente se quería. Ahora, por definición se dice que la transformada inversa de Laplace de F(s) se expresa como lo muestra la ecuación 5.11.
Para resolver la transformada inversa existen tablas en las que te puedes apoyar como las que se muestran en la tabla 2.
Para profundizar en el tema puedes consultar el siguiente video:
Es importante mencionar que al aplicar la transformada inversa también muchas de las veces es necesario emplear el método de fracciones parciales que viste en cálculo integral para poder aplicar la transformada por medio de tablas. Puedes consultar el siguiente video para recordar el método:
Solución de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes utilizando el método de la transformada de Laplace.
Para resolver ecuaciones diferenciales utilizando el método de la transformada de Laplace debes de tomar en cuenta los siguientes pasos:
- Sacar la transformada de Laplace de cada lado de la ecuación diferencial.
- Aplicar los teoremas necesarios.
- Despejar la variable dependiente.
- Aplicar la transformada inversa de Laplace utilizando tablas.
- Obtener la solución en el dominio del tiempo.
Veamos un ejemplo para comprender mejor la aplicación del método:
Resolver la ecuación diferencial representada en la ecuación 5.12.
Siguiendo los pasos descritos, primeramente se calcula la transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad como lo muestra la ecuación 5.13.
Después, para el primer término se calcula la transformada de Laplace de la derivada utilizando la ecuación 5.8, obteniendo la ecuación 5.14.
Para el segundo término aplicamos el teorema de la ecuación 5.5 y quedaría como lo muestra la ecuación 5.15.
Para el primer término del lado derecho de la igualdad, utilizamos las transformadas mostradas en la tabla 1, con lo cual se obtiene la ecuación 5.16
Ahora se puede poner el resultado al aplicar la transformada de Laplace en la ecuación 5.13, la cual se muestra en la ecuación 5.17
Siguiendo ahora con el paso 3, se despeja la variable dependiente de la ecuación 5.17 y se obtiene la ecuación 5.18.
Para aplicar la transformada inversa es necesario descomponer la ecuación 5.18 a fracciones parciales, una vez obteniendo el resultado se puede aplicar la transformada inversa. De esta manera en la ecuación 5.19 se muestra el resultado al aplicar fracciones parciales.
A la ecuación 5.19 ya se le puede aplicar la transformada inversa para obtener el resultado en el dominio del tiempo. La ecuación 5.20 muestra la transformada inversa.
Para calcular la transformada inversa de cada término, primeramente las constantes salen de la transformada inversa como lo muestra la ecuación 5.21, de esta manera se puede observar la tabla 2 para obtener el resultado de la ecuación diferencial en el dominio del tiempo como lo muestra la ecuación 5.22.
Como puedes observar, en este ejercicio cuando se trabaja en el dominio de las frecuencias, las letras de las funciones se escriben en mayúsculas, y cuando se está trabajando en el dominio del tiempo, las letras se escriben en minúsculas.
Para profundizar en este tema puedes consultar el siguiente video:
Conclusión
Para concluir la sesión, esta vez conociste la transformada de Laplace y algunas propiedades de utilidad, por tratarse de una nueva herramienta para resolver ecuaciones diferenciales de cualquier orden de una manera sencilla. Para llevar a cabo el método de la transformada de Laplace es importante recordar los siguientes puntos:
- Debes dominar algunas herramientas matemáticas como:
- Métodos de integración sobre todo el de fracciones parciales.
- Las propiedades de la transformada de Laplace sobre todo las de la derivada e integral.
- Debes comprender como aplicar:
- Las tablas de la transformada de Laplace.
- Las tablas de la transformada inversa de Laplace.
- Debes llevar a cabo los pasos para realizar la transformada de Laplace, los cuales son:
- Sacar la transformada de Laplace de cada lado de la ecuación diferencial.
- Aplicar los teoremas necesarios.
- Despejar la variable dependiente.
- Aplicar la transformada inversa de Laplace utilizando tablas.
- Obtener la solución en el dominio del tiempo.
- Finalmente, debes recordar que en este método, cuando se trabaja en el dominio de las frecuencias, las letras de las funciones se escriben en mayúsculas y cuando se esta trabajando en el dominio del tiempo, las letras se escriben en minúsculas.
Es así como se concluye con esta quinta sesión. ¡Felicitaciones por tu esfuerzo y dedicación! No olvides realizar y mandar en tiempo y forma tu tarea, hasta luego.